Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
(d) lx(theta)=-3+5 tg(theta) y(theta)=2+5 sec (theta), 0 <= theta<2 pi, theta neq pi2 e theta neq

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de equações paramétricas que descrevem uma curva no plano cartesiano. Nosso objetivo aqui é transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana reduzida e identificar que tipo de curva estamos lidando. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de trigonometria e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações que nos foram dadas:
x(theta) = -3 + 5 tan(theta)
y(theta) = 2 + 5 sec(theta)
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente.

Passo 3

Vamos começar isolando o x + 3 = 5 tan(theta) implies tan(theta) = x + 35 na equação de :

Passo 4

Agora, vamos isolar o y - 2 = 5 sec(theta) implies sec(theta) = y - 25 na equação de :

Passo 5

Lembrando que (y - 25)^2 = 1 + (x + 35)^2 , podemos substituir as expressões que encontramos para e :

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
(y - 2)^225 = 1 + (x + 3)^225
Multiplicando todos os termos por 25 para eliminar os denominadores:
(y - 2)^2 = 25 + (x + 3)^2

Passo 7

Agora, vamos reorganizar os termos para obter a equação na forma padrão das cônicas:
(y - 2)^2 - (x + 3)^2 = 25

Passo 8

Comparando com as formas padrão das cônicas:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Vemos que nossa equação corresponde a:
(y - 2)^225 - (x + 3)^225 = 1

Passo 9

Essa é a equação reduzida de uma hipérbole, já que temos subtração entre os termos quadráticos e o lado direito é positivo.

Resposta

A equação cartesiana reduzida é e a curva é uma hipérbole.

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© C: x^2+4 y^2-2 x+8 y+9=0.