Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
(d)
e
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de equações paramétricas que descrevem uma curva no plano cartesiano. Nosso objetivo aqui é transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana reduzida e identificar que tipo de curva estamos lidando. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de trigonometria e álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações que nos foram dadas:
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
e relacionar
e
diretamente.
Passo 3
Vamos começar isolando o
na equação de
:
Passo 4
Agora, vamos isolar o
na equação de
:
Passo 5
Lembrando que
, podemos substituir as expressões que encontramos para
e
:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Multiplicando todos os termos por 25 para eliminar os denominadores:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar os termos para obter a equação na forma padrão das cônicas:
Passo 8
Comparando com as formas padrão das cônicas:
Vemos que nossa equação corresponde a:
Passo 9
Essa é a equação reduzida de uma hipérbole, já que temos subtração entre os termos quadráticos e o lado direito é positivo.
Resposta
A equação cartesiana reduzida é
e a curva é uma hipérbole.
Exercícios relacionados
Uma hipérbole
tem foco
e diretriz
. Se sua excentricidade é
, então a equação dessa hipérbole e seu centro são respectivamente:
Dados o vértice
, o centro
e o comprimento da corda principal
de uma hipérbole, deduzir as equações de suas assíntotas.
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
Se , então
.
Se
Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
© .
©