Dada a distribuição conjunta de X e Y abaixo, determine a média e a variância de:
(b) XY
Y 1 2 3
X 1 5 / 27 1 / 27
2 4 / 27 3 / 27 4 / 27
3 2 / 27 3 / 27 2 / 27

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de distribuição conjunta das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a média e a variância do produto $ XY $. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de esperança matemática (média) e variância para variáveis aleatórias, além de entender como calcular a distribuição conjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem. A tabela da distribuição conjunta está assim:
X \ Y 1 2 3
1 527 127 327
2 427 327 427
3 227 327 227
Isso significa que, por exemplo, a probabilidade de $ X = 1 $ e $ Y = 2 $ é X = 1 .

Passo 3

Agora, vamos calcular a média de $ XY $, que é a esperança matemática $ E(XY) $. A fórmula para isso é:
XY
Ou seja, a gente multiplica cada possível valor de $ X $ e $ Y $ pelo produto dele e pela probabilidade conjunta, e soma tudo.

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  • Para $ X=1, Y=1 $: $ 1 \cdot 1 \cdot \frac{5}{27} = \frac{5}{27} $
  • Para $ X=1, Y=2 $: $ 1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{27} = \frac{2}{27} $
  • Para $ X=1, Y=3 $: $ 1 \cdot 3 \cdot \frac{3}{27} = \frac{9}{27} $
  • Para $ X=2, Y=1 $: $ 2 \cdot 1 \cdot \frac{4}{27} = \frac{8}{27} $
  • Para $ X=2, Y=2 $: $ 2 \cdot 2 \cdot \frac{3}{27} = \frac{12}{27} $
  • Para $ X=2, Y=3 $: $ 2 \cdot 3 \cdot \frac{4}{27} = \frac{24}{27} $
  • Para $ X=3, Y=1 $: $ 3 \cdot 1 \cdot \frac{2}{27} = \frac{6}{27} $
  • Para $ X=3, Y=2 $: $ 3 \cdot 2 \cdot \frac{3}{27} = \frac{18}{27} $
  • Para $ X=3, Y=3 $: $ 3 \cdot 3 \cdot \frac{2}{27} = \frac{18}{27} $

Passo 5

Agora, vamos somar todos esses valores para encontrar $ E(XY) $:
E(XY)
Somando todos, temos:
E(XY) = 527 + 227 + 927 + 827 + 1227 + 2427 + 627 + 1827 + 1827

Passo 6

Agora, vamos calcular a variância de $ XY $, que é $ Var(XY) $. A fórmula para a variância é:
XY
Primeiro, precisamos calcular $ E((XY)^2) $, que é a esperança do quadrado de $ XY $.

Passo 7

Vamos calcular cada termo para $ E((XY)^2) $:
  • Para $ X=1, Y=1 $: $ (1 \cdot 1)^2 \cdot \frac{5}{27} = 1 \cdot \frac{5}{27} = \frac{5}{27} $
  • Para $ X=1, Y=2 $: $ (1 \cdot 2)^2 \cdot \frac{1}{27} = 4 \cdot \frac{1}{27} = \frac{4}{27} $
  • Para $ X=1, Y=3 $: $ (1 \cdot 3)^2 \cdot \frac{3}{27} = 9 \cdot \frac{3}{27} = \frac{27}{27} $
  • Para $ X=2, Y=1 $: $ (2 \cdot 1)^2 \cdot \frac{4}{27} = 4 \cdot \frac{4}{27} = \frac{16}{27} $
  • Para $ X=2, Y=2 $: $ (2 \cdot 2)^2 \cdot \frac{3}{27} = 16 \cdot \frac{3}{27} = \frac{48}{27} $
  • Para $ X=2, Y=3 $: $ (2 \cdot 3)^2 \cdot \frac{4}{27} = 36 \cdot \frac{4}{27} = \frac{144}{27} $
  • Para $ X=3, Y=1 $: $ (3 \cdot 1)^2 \cdot \frac{2}{27} = 9 \cdot \frac{2}{27} = \frac{18}{27} $
  • Para $ X=3, Y=2 $: $ (3 \cdot 2)^2 \cdot \frac{3}{27} = 36 \cdot \frac{3}{27} = \frac{108}{27} $
  • Para $ X=3, Y=3 $: $ (3 \cdot 3)^2 \cdot \frac{2}{27} = 81 \cdot \frac{2}{27} = \frac{162}{27} $

Passo 8

Agora, somamos todos esses valores para encontrar $ E((XY)^2) $:
E((XY)^2)
Somando todos, temos:
E((XY)^2) = 527 + 427 + 2727 + 1627 + 4827 + 14427 + 1827 + 10827 + 16227

Passo 9

Agora, vamos usar a fórmula da variância:
Var(XY) = E((XY)^2) - [E(XY)]^2 = 53227 - (349)^2
Calculando $ \left(\frac{34}{9}\right)^2 $:
(349)^2
Então,
(349)^2 = 115681 approx 14,27

Resposta

A média de $ XY $ é aproximadamente $ 3,78 $ e a variância de $ XY $ é aproximadamente $ 5,43 $.

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