Seja
uma variável aleatória discreta e seja
uma função tal que
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
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Encontre o valor de
de modo que
seja uma função de probabilidade.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória discreta
que pode assumir os valores 1, 2, 3, 4 e 5. A função de probabilidade
é dada de acordo com a tabela:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz com que
seja uma função de probabilidade válida. Para isso, vamos precisar lembrar que uma função de probabilidade deve satisfazer duas condições importantes:
- Não-negatividade: Todas as probabilidades devem ser maiores ou iguais a zero.
- Soma das probabilidades igual a 1: A soma de todas as probabilidades deve totalizar 1.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a não-negatividade das probabilidades. Como
envolve termos como
e
, precisamos garantir que ambos sejam maiores ou iguais a zero.
-
sempre, pois qualquer número ao quadrado é não negativo. -
para garantir que também não seja negativo.
Portanto, a condição inicial que temos é:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a soma de todas as probabilidades seja igual a 1. Vamos somar todas as probabilidades de
:
Simplificando essa soma:
Passo 4
Agora, temos uma equação quadrática para resolver:
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é dada por:
onde, no nosso caso,
,
e
.
Passo 5
Vamos calcular o discriminante (
):
Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
Passo 6
Isso nos dá duas soluções para
:
No entanto, lembrando que
deve ser maior ou igual a zero (pela condição de não-negatividade), descartamos
. Portanto, a única solução válida é:
Resposta
O valor de
que torna
uma função de probabilidade é
.