Seja X uma variável aleatória discreta e seja f uma função tal que
x 1 2 3 4 5
f(x) p^2 p^2 p p p^2
Encontre o valor de p de modo que f seja uma função de probabilidade.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória discreta X que pode assumir os valores 1, 2, 3, 4 e 5. A função de probabilidade f(x) é dada de acordo com a tabela:
|c|c|c|c|c|c| hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 hline f(x) & p^2 & p^2 & p & p & p^2 hline
Nosso objetivo é encontrar o valor de p que faz com que f seja uma função de probabilidade válida. Para isso, vamos precisar lembrar que uma função de probabilidade deve satisfazer duas condições importantes:
  1. Não-negatividade: Todas as probabilidades devem ser maiores ou iguais a zero.
  2. Soma das probabilidades igual a 1: A soma de todas as probabilidades deve totalizar 1.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a não-negatividade das probabilidades. Como f(x) envolve termos como p^2 e p, precisamos garantir que ambos sejam maiores ou iguais a zero.
  • p^2 >= 0 sempre, pois qualquer número ao quadrado é não negativo.
  • p >= 0 para garantir que p também não seja negativo.
Portanto, a condição inicial que temos é:
p >= 0

Passo 3

Agora, vamos garantir que a soma de todas as probabilidades seja igual a 1. Vamos somar todas as probabilidades de f(x):
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = p^2 + p^2 + p + p + p^2
Simplificando essa soma:
3p^2 + 2p = 1

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática para resolver:
3p^2 + 2p - 1 = 0
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é dada por:
p = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
onde, no nosso caso, a = 3, b = 2 e c = -1.

Passo 5

Vamos calcular o discriminante ( De):
De
Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
p = -2 pm raiz16 6 = -2 pm 4 6

Passo 6

Isso nos dá duas soluções para p:
p = -2 + 4 6 = 26 = 13
p = -2 - 4 6 = -66 = -1
No entanto, lembrando que p deve ser maior ou igual a zero (pela condição de não-negatividade), descartamos p = -1. Portanto, a única solução válida é:
p = 13

Resposta

O valor de p que torna f uma função de probabilidade é p = dfrac13.

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