Dada a função f(x,y) = 4x³ y-² - 2xy - 3x - 4y - 7 assinale a alternativa que contenha fx (x,y)
a) 12x - 2xy - 3
b) 12xy - 6x² - 3
c) 12x²y-² - 2y - 3
d) 12xy - 2y - 3 - 4y
e) 12x²y-³ - 2y - y - 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de derivadas parciais! A questão pede para a gente encontrar a derivada parcial de $ f(x, y) = 4x^3 y^{-2} - 2xy - 3x - 4y - 7 $ em relação a $ x $, que é notado por $ f_x(x, y) $. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções com várias variáveis, mantendo $ y $ constante enquanto derivamos em $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas ou mais variáveis, a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis mostra como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. No nosso caso, queremos ver como $ f(x, y) $ muda quando $ x $ varia e $ y $ permanece fixo.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo da função $ f(x, y) = 4x^3 y^{-2} - 2xy - 3x - 4y - 7 $ em relação a $ x $:
  1. Termo $ 4x^3 y^{-2} $:
    • Aqui, tratamos $ y^{-2} $ como uma constante porque estamos derivando em relação a $ x $.
    • A derivada de $ x^3 $ é $ 3x^2 $, então a derivada desse termo é: f(x, y) = 4x^3 y^-2 - 2xy - 3x - 4y - 7
  2. Termo $ -2xy $:
    • Novamente, $ y $ é constante.
    • A derivada de $ x $ é $ 1 $, então: x
  3. Termo $ -3x $:
    • A derivada de $ x $ é $ 1 $, então: 4x^3 y^-2
  4. Termos $ -4y $ e $ -7 $:
    • Esses termos não contêm $ x $, então suas derivadas em relação a $ x $ são zero: y^-2

Passo 4

Agora, juntamos todas as derivadas parciais que calculamos:
fx(x, y) = 12x^2 y^-2 - 2y - 3

Passo 5

Vamos simplificar um pouco a expressão $ 12x^2 y^{-2} $. Lembrando que $ y^{-2} = \frac{1}{y^2} $, podemos reescrever:
12x^2 y^-2

Resposta

A derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ é:
f(x, y)
Portanto, a alternativa correta é a c) 12x²y^{-2} - 2y - 3.

Exercícios relacionados