Dada a função de distribuição acumulada
F(x)=lll 0 & se & x<1 0,1 & se & 1 <= x<2 0,3 & se & 2 <= x<3 0,7 & se & 3 <= x<4 0,8 & se & 4 <= x<5 1 & se & 5 <= x
a) Calcule a função de probabilidade da variável X cuja f.d.a. é F( cdot).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a função de probabilidade da variável X usando a função de distribuição acumulada (f.d.a) F(x) que foi fornecida. Estamos lidando com probabilidade discreta, onde a gente vai identificar as probabilidades de cada valor específico que X pode assumir. Para resolver isso, vamos precisar entender como a f.d.a se comporta e como extrair a função de probabilidade a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a f.d.a F(x) que é uma função em degraus. Cada “salto” na função indica uma probabilidade associada a um valor específico de X. Esses saltos ocorrem nos pontos onde x muda de intervalo, ou seja, nos valores x = 1, 2, 3, 4, 5.

Passo 3

Para encontrar a função de probabilidade P(X = x), a gente calcula a diferença entre o valor da f.d.a no ponto x e o valor imediatamente antes desse ponto. Matematicamente, isso é dado por:
P(X = x) = F(x) - F(x^-)
Onde F(x^-) é o limite da f.d.a quando x se aproxima por valores menores.

Passo 4

Vamos calcular essas diferenças para cada ponto onde ocorre um salto:
  • Para x = 1:
    P(X = 1) = F(1) - F(1^-) = 0,1 - 0 = 0,1
  • Para x = 2:
    P(X = 2) = F(2) - F(2^-) = 0,3 - 0,1 = 0,2
  • Para x = 3:
    P(X = 3) = F(3) - F(3^-) = 0,7 - 0,3 = 0,4
  • Para x = 4:
    P(X = 4) = F(4) - F(4^-) = 0,8 - 0,7 = 0,1
  • Para x = 5:
    P(X = 5) = F(5) - F(5^-) = 1 - 0,8 = 0,2

Resposta

A função de probabilidade da variável X é dada por:
P(X = x) = 0,1 & se x = 1 0,2 & se x = 2 0,4 & se x = 3 0,1 & se x = 4 0,2 & se x = 5 0 & caso contrário á

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