Seja uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
determine as seguintes probabilidades:
a) ;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma variável aleatória com uma função de distribuição acumulada . O enunciado quer que a gente descubra a probabilidade de ser exatamente igual a 3, ou seja, . Aqui, estamos lidando com probabilidade e distribuições de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, , nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor , ou seja, .
Passo 3
Observando a função dada:
Essa é a FDA de uma distribuição contínua, mais especificamente da distribuição exponencial. Em distribuições contínuas, pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo, e as probabilidades para pontos específicos são tratadas de maneira especial.
Passo 4
Para distribuições contínuas, a probabilidade de assumir exatamente um valor específico, como , é sempre zero. Isso porque em um intervalo contínuo existem infinitos pontos, e a “largura” de um único ponto é zero.
Passo 5
Matematicamente, isso significa que:
Isso ocorre porque a probabilidade é medida por áreas sob a curva da função densidade de probabilidade, e um único ponto não tem área.