Dada a função de distribuição acumulada
F(x)=lll 0 & se & x<1 0,1 & se & 1 <= x<2 0,3 & se & 2 <= x<3 0,7 & se & 3 <= x<4 0,8 & se & 4 <= x<5 1 & se & 5 <= x
1a
Calcule a função de probabilidade da variável cuja f.d.a. é F(cdot).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá a função de distribuição acumulada (f.d.a.) de uma variável aleatória. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de probabilidade (f.p.) dessa variável. Para isso, vamos precisar entender como a f.d.a. se relaciona com a f.p. Em suma, vamos descobrir as probabilidades pontuais a partir da f.d.a. que foi fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada, , nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor , ou seja, .

Passo 3

A função de probabilidade, , para uma variável aleatória discreta, é a probabilidade de que seja exatamente igual a . Para encontrar isso a partir da f.d.a., usamos a diferença entre os valores de nos pontos onde ocorre um salto.

Passo 4

Vamos organizar os pontos onde muda de valor:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular as probabilidades pontuais usando a fórmula:
P(X = x) = F(x) - F(x^-)
Onde é o limite da f.d.a. à esquerda de .

Passo 6

Calculando para cada ponto:
  • Para P(X = 1) = F(1) - F(1^-) = 0,1 - 0 = 0,1 :
    P(X = 2) = F(2) - F(2^-) = 0,3 - 0,1 = 0,2
  • Para P(X = 3) = F(3) - F(3^-) = 0,7 - 0,3 = 0,4 :
    P(X = 4) = F(4) - F(4^-) = 0,8 - 0,7 = 0,1
  • Para P(X = 5) = F(5) - F(5^-) = 1 - 0,8 = 0,2 :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A função de probabilidade da variável é:
P(X = x) = 0,1 & se x = 1 0,2 & se x = 2 0,4 & se x = 3 0,1 & se x = 4 0,2 & se x = 5 0 & caso contrário á

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