Dada a função , verificar se existe . Esboçar o gráfico.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a derivada de em existe e também esboçar o gráfico dessa função. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas, e vamos precisar entender como calcular a derivada de funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de :
  • Para , .
  • Para , .

Passo 3

Para verificar se a derivada existe, precisamos calcular o limite da razão de variação quando se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda. Se esses dois limites forem iguais, a derivada existe e é igual a esse valor comum.

Passo 4

Calculando a derivada pela direita ( ):
A função para é . A derivada de é .

Passo 5

Calculando a derivada pela esquerda ( ):
A função para é . A derivada de é .

Passo 6

Como os limites da derivada pela direita e pela esquerda em são iguais (ambos são 1), podemos concluir que a derivada existe e é igual a 1.

Passo 7

Agora, vamos esboçar o gráfico da função . Para , a função é uma reta com inclinação 1 e intercepto em -1. Para , é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 0. No ponto , ambas as partes da função se encontram no ponto , já que:
  • Para , pela parte .
  • Mas também, olhando pela esquerda, o limite quando se aproxima de 0 é 0. Então, há uma descontinuidade no ponto , mas a derivada ainda existe porque as inclinações das retas são iguais.

Resposta

A derivada existe e é igual a 1. O gráfico da função consiste em duas retas com inclinação 1, encontrando-se em com uma descontinuidade no ponto .

Exercícios relacionados

(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(a) Podemos concluir que ?
(b) É possível afirmar que ?
Encontrar as derivadas laterais, das seguintes funções, nos pontos indicados. Encontrar os intervalos onde e .
a)
Encontrar a derivada das funções dadas, utilizando as regras de derivação.
d)