Dada a função
, verificar se existe
. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a derivada de
em
existe e também esboçar o gráfico dessa função. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas, e vamos precisar entender como calcular a derivada de funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de
:
- Para
, . - Para
, .
Passo 3
Para verificar se a derivada
existe, precisamos calcular o limite da razão de variação quando
se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda. Se esses dois limites forem iguais, a derivada existe e é igual a esse valor comum.
Passo 4
Calculando a derivada pela direita (
):
A função para é
. A derivada de
é
.
A função para
Passo 5
Calculando a derivada pela esquerda (
):
A função para é
. A derivada de
é
.
A função para
Passo 6
Como os limites da derivada pela direita e pela esquerda em
são iguais (ambos são 1), podemos concluir que a derivada
existe e é igual a 1.
Passo 7
Agora, vamos esboçar o gráfico da função
. Para
, a função é uma reta com inclinação 1 e intercepto em -1. Para
, é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 0. No ponto
, ambas as partes da função se encontram no ponto
, já que:
- Para
, pela parte . - Mas também, olhando pela esquerda, o limite quando
se aproxima de 0 é 0. Então, há uma descontinuidade no ponto , mas a derivada ainda existe porque as inclinações das retas são iguais.
Resposta
A derivada
existe e é igual a 1. O gráfico da função consiste em duas retas com inclinação 1, encontrando-se em
com uma descontinuidade no ponto
.
Exercícios relacionados
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a) Podemos concluir que
?
(b) É possível afirmar que ?
(b) É possível afirmar que
Encontrar as derivadas laterais, das seguintes funções, nos pontos indicados. Encontrar os intervalos onde
e
.
a)
a)
Encontrar a derivada das funções dadas, utilizando as regras de derivação.
d)
d)