Dadas as funçoes f, g: [1, 3] -> R definidas por f(x) = x + 2 e g(x) = x^2 + x encontre S(f, P) e S(g, P)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar S(f, P) e S(g, P) para as funções e , definidas no intervalo [1, 3]. Aqui, S representa a soma superior com relação a uma partição P desse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é soma superior e como aplicar isso às funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a partição P do intervalo [1, 3]. Uma partição divide o intervalo em subintervalos menores. Para simplificar, vamos dividir [1, 3] em dois subintervalos: [1, 2] e [2, 3]. Então, nossa partição P é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a soma superior S(f, P) para a função . A soma superior é a soma dos valores máximos da função em cada subintervalo multiplicados pelo tamanho do subintervalo.

Passo 4

No primeiro subintervalo [1, 2], encontramos o valor máximo de f(x). Como é uma função crescente, o máximo ocorre no ponto mais à direita do intervalo, ou seja, em x = 2. Então, .

Passo 5

No segundo subintervalo [2, 3], novamente, o máximo de f(x) ocorre em . Calculando, .

Passo 6

Agora, multiplicamos cada valor máximo pelo tamanho do respectivo subintervalo. Cada subintervalo tem tamanho e . Então:

Passo 7

Vamos repetir o mesmo processo para a função .

Passo 8

No primeiro subintervalo [1, 2], encontramos o valor máximo de g(x). Como é crescente nesse intervalo (porque sua derivada é positiva para ), o máximo ocorre em x = 2. Calculando, .

Passo 9

No segundo subintervalo [2, 3], o máximo de g(x) ocorre em . Então, .

Passo 10

Multiplicamos cada valor máximo pelo tamanho do respectivo subintervalo:

Resposta

A soma superior para f é e para g é .

Exercícios relacionados