Dadas as funçoes
definidas por
e
encontre
e
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar
e
para as funções
e
, definidas no intervalo [1, 3]. Aqui,
representa a soma superior com relação a uma partição
desse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é soma superior e como aplicar isso às funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a partição
do intervalo [1, 3]. Uma partição divide o intervalo em subintervalos menores. Para simplificar, vamos dividir [1, 3] em dois subintervalos: [1, 2] e [2, 3]. Então, nossa partição
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a soma superior
para a função
. A soma superior é a soma dos valores máximos da função em cada subintervalo multiplicados pelo tamanho do subintervalo.
Passo 4
No primeiro subintervalo [1, 2], encontramos o valor máximo de
. Como
é uma função crescente, o máximo ocorre no ponto mais à direita do intervalo, ou seja, em
. Então,
.
Passo 5
No segundo subintervalo [2, 3], novamente, o máximo de
ocorre em
. Calculando,
.
Passo 6
Agora, multiplicamos cada valor máximo pelo tamanho do respectivo subintervalo. Cada subintervalo tem tamanho
e
. Então:
Passo 7
Vamos repetir o mesmo processo para a função
.
Passo 8
No primeiro subintervalo [1, 2], encontramos o valor máximo de
. Como
é crescente nesse intervalo (porque sua derivada
é positiva para
), o máximo ocorre em
. Calculando,
.
Passo 9
No segundo subintervalo [2, 3], o máximo de
ocorre em
. Então,
.
Passo 10
Multiplicamos cada valor máximo pelo tamanho do respectivo subintervalo:
Resposta
A soma superior para
é
e para
é
.