Esboce a região de integração e calcule as integrais a seguir: integral1^2 integral0^x x cos (y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região de integração e calcular a integral dupla . Aqui, vamos usar conceitos de integrais duplas, entendendo como as variáveis se relacionam e como integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Temos variando de 1 a 2, e para cada , varia de 0 até . Isso significa que estamos olhando para uma região triangular no plano , onde a base está no intervalo e vai de 0 até a linha .

Passo 3

Agora, vamos começar a calcular a integral interna, que é em relação a . A integral interna é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 4

Integrando integral x cos(y) , dy = x integral cos(y) , dy = x sin(y) + C em relação a , temos:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar porque vamos avaliar a integral definida.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral de x sin(y) |0^x = x sin(x) - x sin(0) = x sin(x) - 0 = x sin(x) de 0 a :
Então, a integral interna resulta em .

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Assim, temos:
integral1^2 x sin(x) , dx
Essa é a integral que precisamos resolver agora.

Passo 7

Para resolver integral u , dv = uv - integral v , du , vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
u = x Rightarrow du = dx
Escolhemos:
dv = sin(x) , dx Rightarrow v = -cos(x)

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x sin(x) , dx = -x cos(x) + integral cos(x) , dx = -x cos(x) + sin(x) + C
Novamente, é a constante de integração que não precisamos considerar aqui.

Passo 9

Agora, avaliamos a integral de 1 a 2:
[ -x cos(x) + sin(x) ]1^2 = ( -2 cos(2) + sin(2) ) - ( -1 cos(1) + sin(1) )
Simplificando:
= -2 cos(2) + sin(2) + cos(1) - sin(1)

Resposta

O valor da integral dupla é .

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