Esboce a região de integração e calcule as integrais a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região de integração e calcular a integral dupla . Aqui, vamos usar conceitos de integrais duplas, entendendo como as variáveis se relacionam e como integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Temos variando de 1 a 2, e para cada , varia de 0 até . Isso significa que estamos olhando para uma região triangular no plano , onde a base está no intervalo e vai de 0 até a linha .
Passo 3
Agora, vamos começar a calcular a integral interna, que é em relação a . A integral interna é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .
Passo 4
Integrando em relação a , temos:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar porque vamos avaliar a integral definida.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral de de 0 a :
Então, a integral interna resulta em .
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Assim, temos:
integral1^2 x sin(x) , dx
Essa é a integral que precisamos resolver agora.
Passo 7
Para resolver integral u , dv = uv - integral v , du , vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
u = x Rightarrow du = dx
Escolhemos:
dv = sin(x) , dx Rightarrow v = -cos(x)
Passo 8
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x sin(x) , dx = -x cos(x) + integral cos(x) , dx = -x cos(x) + sin(x) + C
Novamente, é a constante de integração que não precisamos considerar aqui.