Dadas as seguintes especificações de projeto, defina a região do plano-S na qual os pólos de malha fechada devem ser impostos ( 1 , 5 pontos):
  • Tempo de acomodação entre 1 e 4 segundos;
  • Sobressinal entre 5 % e 16 %;
  • Frequência da senóide amortecida inferior a 3 rad / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de controle de sistemas onde precisamos definir uma região no plano-S (s-plane) para os pólos de malha fechada. As especificações que a gente precisa seguir são:
  • Tempo de acomodação entre 1 e 4 segundos.
  • Sobressinal entre 5% e 16%.
  • Frequência da senóide amortecida menor que .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas de segunda ordem, que nos ajudam a relacionar essas especificações com a localização dos pólos no plano-S. Precisamos entender como o tempo de acomodação, o sobressinal e a frequência da senóide estão ligados aos parâmetros dos pólos, como a frequência natural ( ) e o fator de amortecimento ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o tempo de acomodação ( Ts approx 4zeta omegan ). Esse tempo é aproximadamente o tempo que o sistema leva para se estabilizar dentro de uma certa margem do estado final. Para sistemas de segunda ordem, ele está relacionado ao fator de amortecimento ( 1 <= 4zeta omegan <= 4 ) e à frequência natural ( ) através da fórmula:
Queremos que esteja entre 1 e 4 segundos, então temos:

Passo 3

Agora, vamos considerar o sobressinal ( PO = e^(-pi zetaraiz1 - zeta^2) times 100% ). O sobressinal está ligado ao fator de amortecimento pela relação:
5% <= e^(-pi zetaraiz1 - zeta^2) times 100% <= 16%
Queremos que o sobressinal esteja entre 5% e 16%, ou seja:
Isso nos ajuda a encontrar um intervalo para o fator de amortecimento .

Passo 4

Por último, temos a frequência da senóide amortecida ( omegad = omegan raiz1 - zeta^2 ). Ela está relacionada à frequência natural e ao fator de amortecimento pela fórmula:
omegan raiz1 - zeta^2 < 3
Queremos que , então:

Passo 5

Agora, vamos combinar tudo isso para definir a região no plano-S. Sabemos que os pólos de um sistema de segunda ordem estão localizados em:
s = -zeta omegan pm j omegan raiz1 - zeta^2
Usando as restrições que encontramos para , e , podemos traçar uma região no plano-S onde esses pólos devem estar para que todas as especificações sejam atendidas.

Resposta

A região do plano-S onde os pólos de malha fechada devem ser colocados satisfazendo todas as especificações é o conjunto de pontos 1 <= 4zeta omegan <= 4, tais que:
0.05 <= e^(-pi zetaraiz1 - zeta^2) <= 0.16,
omegan raiz1 - zeta^2 < 3 , rad/s
Essa região garante que o tempo de acomodação esteja entre 1 e 4 segundos, o sobressinal entre 5% e 16%, e a frequência da senóide amortecida seja menor que .

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