Dadas as seguintes especificações de projeto, defina a região do plano-S na qual os pólos de malha fechada devem ser impostos (
pontos):
- Tempo de acomodação entre 1 e 4 segundos;
- Sobressinal entre
e
;
- Frequência da senóide amortecida inferior a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de controle de sistemas onde precisamos definir uma região no plano-S (s-plane) para os pólos de malha fechada. As especificações que a gente precisa seguir são:
- Tempo de acomodação entre 1 e 4 segundos.
- Sobressinal entre 5% e 16%.
- Frequência da senóide amortecida menor que
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas de segunda ordem, que nos ajudam a relacionar essas especificações com a localização dos pólos no plano-S. Precisamos entender como o tempo de acomodação, o sobressinal e a frequência da senóide estão ligados aos parâmetros dos pólos, como a frequência natural (
) e o fator de amortecimento (
).
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o tempo de acomodação (
). Esse tempo é aproximadamente o tempo que o sistema leva para se estabilizar dentro de uma certa margem do estado final. Para sistemas de segunda ordem, ele está relacionado ao fator de amortecimento (
) e à frequência natural (
) através da fórmula:
Queremos que
esteja entre 1 e 4 segundos, então temos:
Passo 3
Agora, vamos considerar o sobressinal (
). O sobressinal está ligado ao fator de amortecimento pela relação:
Queremos que o sobressinal esteja entre 5% e 16%, ou seja:
Isso nos ajuda a encontrar um intervalo para o fator de amortecimento
.
Passo 4
Por último, temos a frequência da senóide amortecida (
). Ela está relacionada à frequência natural e ao fator de amortecimento pela fórmula:
Queremos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos combinar tudo isso para definir a região no plano-S. Sabemos que os pólos de um sistema de segunda ordem estão localizados em:
Usando as restrições que encontramos para
,
e
, podemos traçar uma região no plano-S onde esses pólos devem estar para que todas as especificações sejam atendidas.
Resposta
A região do plano-S onde os pólos de malha fechada devem ser colocados satisfazendo todas as especificações é o conjunto de pontos
tais que:
Essa região garante que o tempo de acomodação esteja entre 1 e 4 segundos, o sobressinal entre 5% e 16%, e a frequência da senóide amortecida seja menor que
.