Considerando um motor de corrente contínua com excitação independente acionado por conversor eletrônico (
) e operação em malha fechada a vazio, determine o ganho de um controlador proporcional de tal forma que o erro de estado permanente seja de
para a aplicação de um degrau de entrada de 2.725 V . O ganho do sensor de velocidade é
e os dados do motor são:
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre um motor de corrente contínua com excitação independente controlado por um conversor eletrônico. A missão aqui é encontrar o ganho de um controlador proporcional que faça com que o erro de estado permanente seja de 5% quando aplicamos um degrau de entrada de 2,725 V. Para resolver isso, vamos usar conceitos de controle de sistemas, especialmente focando em controladores proporcionais e erro de estado permanente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é erro de estado permanente. É basicamente a diferença entre a saída real do sistema e o valor desejado quando o sistema já está estabilizado, ou seja, após um longo tempo da aplicação do degrau de entrada. Aqui, queremos que esse erro seja de apenas 5%.
Passo 3
Vamos começar definindo a função de transferência do motor. A função de transferência relaciona a entrada do sistema (voltagem aplicada) com a saída (velocidade do motor). Os parâmetros fornecidos são:
- Ganho do conversor eletrônico:
- Ganho do sensor de velocidade:
- Resistência do armadura:
- Indutância do armadura:
- Coeficiente de viscosidade:
- Inércia:
- Constante de torque:
A função de transferência do motor
pode ser representada por:
Passo 4
Agora, considerando que estamos usando um controlador proporcional
, a função de transferência do controlador é simplesmente
. A função de transferência em malha fechada
fica:
Passo 5
Para encontrar o erro de estado permanente
para uma entrada de degrau, usamos a fórmula:
onde
é o ganho estático do sistema. Queremos que
.
Então, temos:
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, precisamos determinar o ganho estático
do sistema. O ganho estático é a função de transferência avaliada em
:
Substituindo os valores:
Passo 8
Finalmente, substituindo
na equação para
:
Resposta
O ganho do controlador proporcional necessário para que o erro de estado permanente seja de 5% é aproximadamente
.