Considerando a função de transferência de uma planta e da malha de retroação dadas abaixo, elabore um controlador que confira ao sistema de malha fechada pólos dominantes iguais a 1,66+j1,34 e 1,66-j1,34. Utilize propriedades de formação do lugar das raízes para obter a solução. OBS.: não se admite cancelamento de pólos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de transferência da planta
e uma função de feedback
. O objetivo é elaborar um controlador que faça com que os pólos dominantes do sistema de malha fechada sejam
e
. Para isso, vamos usar as propriedades do lugar das raízes, que nos ajuda a entender como os pólos do sistema se comportam quando ajustamos o controlador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são esses pólos dominantes. Eles determinam a resposta do sistema, como velocidade e estabilidade. Queremos que eles estejam nos pontos
. Para isso, vamos encontrar a equação característica desejada.
Passo 3
A equação característica é obtida igualando o denominador da função de transferência de malha fechada a zero. Como queremos que os pólos sejam
, podemos escrever a equação característica desejada usando esses valores.
Passo 4
Vamos construir a equação característica com os pólos desejados:
Multiplicando, temos:
Calculando os termos:
Então, a equação característica desejada é:
Passo 5
Agora, vamos olhar para a função de malha fechada com o controlador
. A função de malha fechada é dada por:
O denominador dessa expressão deve ser igual à equação característica desejada:
Mas queremos que a equação característica resultante seja
. Vamos ajustar o controlador para que isso aconteça.
Passo 6
A equação característica com o controlador fica:
Igualando os termos, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando essa expressão, obtemos o controlador
.
Passo 7
Vamos simplificar a expressão para
:
Multiplicando os polinômios no numerador:
Agora, vamos dividir o polinômio do numerador por
para simplificar ainda mais.
Passo 8
Dividindo
por
, usamos a divisão polinomial:
Portanto, o controlador fica:
Simplificando o sinal negativo:
Resposta
O controlador que atende aos requisitos é: