Considerando a função de transferência de uma planta e da malha de retroação dadas abaixo, elabore um controlador que confira ao sistema de malha fechada pólos dominantes iguais a 1,66+j1,34 e 1,66-j1,34. Utilize propriedades de formação do lugar das raízes para obter a solução. OBS.: não se admite cancelamento de pólos.
GP(s)=1s^2+2 s H(s)=s+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de transferência da planta e uma função de feedback . O objetivo é elaborar um controlador que faça com que os pólos dominantes do sistema de malha fechada sejam e . Para isso, vamos usar as propriedades do lugar das raízes, que nos ajuda a entender como os pólos do sistema se comportam quando ajustamos o controlador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses pólos dominantes. Eles determinam a resposta do sistema, como velocidade e estabilidade. Queremos que eles estejam nos pontos . Para isso, vamos encontrar a equação característica desejada.

Passo 3

A equação característica é obtida igualando o denominador da função de transferência de malha fechada a zero. Como queremos que os pólos sejam , podemos escrever a equação característica desejada usando esses valores.

Passo 4

Vamos construir a equação característica com os pólos desejados:
(s - (1,66 + j1,34))(s - (1,66 - j1,34)) = 0
Multiplicando, temos:
s^2 - 2 cdot 1,66 cdot s + (1,66)^2 + (1,34)^2 = 0
Calculando os termos:
s^2 - 3,32s + 2,7556 + 1,7956 = 0 s^2 - 3,32s + 4,5512 = 0
Então, a equação característica desejada é:
s^2 - 3,32s + 4,5512 = 0

Passo 5

Agora, vamos olhar para a função de malha fechada com o controlador C(s)GP(s)1 + C(s)GP(s)H(s) = C(s) cdot 1s^2 + 2s1 + C(s) cdot 1s^2 + 2s cdot (s + 3) . A função de malha fechada é dada por:
1 + C(s) cdot s + 3s^2 + 2s = 0 C(s) cdot s + 3s^2 + 2s = -1 C(s) = -s^2 + 2ss + 3
O denominador dessa expressão deve ser igual à equação característica desejada:
Mas queremos que a equação característica resultante seja . Vamos ajustar o controlador para que isso aconteça.

Passo 6

A equação característica com o controlador fica:
1 + C(s) cdot s + 3s^2 + 2s = s^2 - 3,32s + 4,5512
Igualando os termos, temos:
C(s) cdot s + 3s^2 + 2s = - (s^2 - 3,32s + 4,5512)
Multiplicando ambos os lados por C(s) = - (s^2 - 3,32s + 4,5512)(s^2 + 2s)s + 3 :
Simplificando essa expressão, obtemos o controlador .

Passo 7

Vamos simplificar a expressão para C(s) = - (s^2 - 3,32s + 4,5512)(s^2 + 2s)s + 3 :
C(s) = - s^4 + 2s^3 - 3,32s^3 - 6,64s^2 + 4,5512s^2 + 9,1024ss + 3 C(s) = - s^4 - 1,32s^3 - 2,0888s^2 + 9,1024ss + 3
Multiplicando os polinômios no numerador:
Agora, vamos dividir o polinômio do numerador por para simplificar ainda mais.

Passo 8

Dividindo s^4 - 1,32s^3 - 2,0888s^2 + 9,1024s ÷ (s + 3) = s^3 - 4,32s^2 + 10,152s - 30,456 por C(s) = - (s^3 - 4,32s^2 + 10,152s - 30,456) , usamos a divisão polinomial:
C(s) = -s^3 + 4,32s^2 - 10,152s + 30,456
Portanto, o controlador fica:
Simplificando o sinal negativo:

Resposta

O controlador que atende aos requisitos é:
C(s) = -s^3 + 4,32s^2 - 10,152s + 30,456

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