Dado o elemento infinitesimal abaixo, determine o valor mínimo da tensão cisalhante em função da tensão no eixo x para que não ocorra rompimento do material que possui tensão admissível de 50Mpa para tensões normais.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pediu. A gente tem um elemento infinitesimal sujeito a algumas tensões e precisa descobrir o valor mínimo da tensão cisalhante (
) em função da tensão no eixo
(
). A ideia é garantir que o material não quebre, ou seja, que as tensões normais não ultrapassem 50 MPa, que é a tensão admissível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como as tensões agem num elemento. Temos a tensão normal no eixo
(
) e a tensão cisalhante (
). Quando há essas tensões atuando, elas podem causar deformações que levam ao rompimento se forem muito grandes. Para evitar isso, a gente precisa analisar as tensões máximas que ocorrem em qualquer direção dentro do material.
Passo 3
Para encontrar a tensão máxima que o material pode suportar sem romper, vamos usar a fórmula que calcula a tensão máxima (
) considerando
e
. A fórmula é baseada na teoria de transformação de tensões e é dada por:
Essa equação nos dá a maior tensão normal que ocorre em algum plano dentro do material.
Passo 4
Queremos que essa tensão máxima não ultrapasse a tensão admissível de 50 MPa. Então, vamos montar a inequação:
Agora, nosso objetivo é isolar
para encontrar o valor mínimo que ela deve ter para que a condição seja satisfeita.
Passo 5
Vamos resolver a inequação passo a passo. Primeiro, subtraímos
de ambos os lados:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado direito:
Simplificando, as
se cancelam:
Tirando a raiz dos dois lados:
Resposta
Então, o valor mínimo da tensão cisalhante necessário para evitar o rompimento do material é: