Dado o elemento infinitesimal abaixo, determine o valor mínimo da tensão cisalhante em função da tensão no eixo x para que não ocorra rompimento do material que possui tensão admissível de 50Mpa para tensões normais.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pediu. A gente tem um elemento infinitesimal sujeito a algumas tensões e precisa descobrir o valor mínimo da tensão cisalhante ( ) em função da tensão no eixo ( ). A ideia é garantir que o material não quebre, ou seja, que as tensões normais não ultrapassem 50 MPa, que é a tensão admissível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as tensões agem num elemento. Temos a tensão normal no eixo ( ) e a tensão cisalhante ( ). Quando há essas tensões atuando, elas podem causar deformações que levam ao rompimento se forem muito grandes. Para evitar isso, a gente precisa analisar as tensões máximas que ocorrem em qualquer direção dentro do material.

Passo 3

Para encontrar a tensão máxima que o material pode suportar sem romper, vamos usar a fórmula que calcula a tensão máxima ( sigmamax = sigmax2 + raiz(sigmax2)^2 + tauxy^2 ) considerando e . A fórmula é baseada na teoria de transformação de tensões e é dada por:
Essa equação nos dá a maior tensão normal que ocorre em algum plano dentro do material.

Passo 4

Queremos que essa tensão máxima não ultrapasse a tensão admissível de 50 MPa. Então, vamos montar a inequação:
sigmax2 + raiz(sigmax2)^2 + tauxy^2 <= 50
Agora, nosso objetivo é isolar para encontrar o valor mínimo que ela deve ter para que a condição seja satisfeita.

Passo 5

Vamos resolver a inequação passo a passo. Primeiro, subtraímos raiz(sigmax2)^2 + tauxy^2 <= 50 - sigmax2 de ambos os lados:
(sigmax2)^2 + tauxy^2 <= (50 - sigmax2)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(sigmax2)^2 + tauxy^2 <= 2500 - 50sigmax + (sigmax2)^2
Expandindo o lado direito:
tauxy^2 <= 2500 - 50sigmax
Simplificando, as tauxy <= raiz2500 - 50sigmax se cancelam:
Tirando a raiz dos dois lados:

Resposta

Então, o valor mínimo da tensão cisalhante necessário para evitar o rompimento do material é:
tauxy >= raiz2500 - 50sigmax MPa

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