Dado um grafo orientado e conexo descrever um algoritmo que imprima todos os caminhos maximais e elementares a partir da escolha de um vértice como raiz.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre grafos dirigidos (ou orientados) e conectados. O que a gente precisa fazer é criar um algoritmo que, dado um vértice raiz escolhido, imprima todos os caminhos que começam nessa raiz e que sejam maximais e elementares. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como os grafos funcionam, o que são esses tipos de caminhos e como podemos percorrer o grafo de forma eficiente para encontrar todos esses caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um grafo orientado e conectado. Um grafo orientado é composto por vértices (ou nós) conectados por arestas que têm uma direção específica. Ou seja, elas vão de um vértice para outro de um jeito definido, como setas. Já um grafo conectado significa que é possível chegar de qualquer vértice a qualquer outro vértice seguindo as arestas.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre caminhos elementares. Um caminho é uma sequência de vértices onde cada par de vértices consecutivos está ligado por uma aresta no grafo. Um caminho é chamado de elementar se ele não repete nenhum vértice, ou seja, cada vértice aparece apenas uma vez nesse caminho. Isso evita ciclos e garante que estamos explorando caminhos únicos.

Passo 4

O termo maximal aqui se refere a caminhos que não podem ser estendidos. Ou seja, você não consegue adicionar mais vértices ao caminho sem repetir algum vértice já incluído ou sem sair da direção das arestas. Em outras palavras, é um caminho tão longo quanto possível a partir da raiz, dadas as restrições do grafo.

Passo 5

Para imprimir todos esses caminhos maximais e elementares a partir de um vértice raiz, podemos usar uma abordagem de Busca em Profundidade (DFS - Depth-First Search). Essa técnica explora o grafo mergulhando o mais profundo possível em cada caminho antes de retroceder. Vamos adaptar a DFS para registrar todos os caminhos que atendem aos critérios de serem elementares e maximais.

Passo 6

Aqui está o algoritmo passo a passo:
  1. Inicialização:
    • Escolha o vértice raiz a partir do qual começaremos os caminhos.
    • Crie uma lista para armazenar o caminho atual e marque todos os vértices como não visitados.
  2. Função Recursiva DFS:
    • Adicione o vértice atual ao caminho e marque-o como visitado.
    • Para cada vértice adjacente ao vértice atual:
      • Se o vértice adjacente não foi visitado, faça uma chamada recursiva para esse vértice.
    • Se não houver mais vértices adjacentes não visitados, o caminho atual é maximal e elementar. Então, imprima ou armazene esse caminho.
    • Remova o vértice atual do caminho e marque-o como não visitado (backtracking).
  3. Execução:
    • Inicie a função DFS a partir da raiz.

Passo 7

Vamos formalizar esse algoritmo em pseudocódigo para facilitar a compreensão:
Algoritmo ImprimirCaminhos(grafo, raiz):
    caminho = []
    visitado = {todos os vértices como não visitados}

    função DFS(vértice):
        adicionar vértice ao caminho
        marcar vértice como visitado

        tem_proximo = falso
        para cada vértice adjacente:
            se não está visitado:
                tem_proximo = verdadeiro
                DFS(adjacent_vertex)

        se não tem_proximo:
            imprimir caminho

        remover vértice do caminho
        marcar vértice como não visitado

    DFS(raiz)

Passo 8

Explicando o pseudocódigo:
  • caminho: Lista que guarda a sequência de vértices do caminho atual.
  • visitado: Dicionário ou array que indica se um vértice foi visitado na exploração atual.
  • DFS(vértice): Função recursiva que explora os caminhos a partir do vértice dado.
  • adicionar vértice ao caminho: Incluímos o vértice atual na sequência do caminho.
  • marcar vértice como visitado: Evitamos revisitar o mesmo vértice no caminho atual.
  • para cada vértice adjacente: Exploramos todos os vértices que podem ser alcançados diretamente do vértice atual.
  • tem_proximo: Booleano que verifica se há mais vértices para explorar a partir do atual.
  • imprimir caminho: Quando não há mais vértices para seguir, o caminho atual é maximal e elementar, então o imprimimos.
  • backtracking: Removemos o vértice atual do caminho e marcamos como não visitado para explorar outros caminhos possíveis.

Resposta

Assim, utilizando a estratégia de Busca em Profundidade adaptada, o algoritmo descrito acima irá imprimir todos os caminhos que começam na raiz, sem repetir vértices e que não podem ser estendidos, ou seja, são máximos e elementares.

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