Seja o problema de grafo de jogos denominado resta um. Existem 10 moedas na mesa. Cada jogador pode retirar 1,2 ou 3 moedas. Perde aquele que ficar com uma moeda na mesa.
Construir o grafo de jogos sem repetição de estados, rotular os vértices, e determinar o ganhador.
Determinar a estratégia vencedora e uma regra de jogada para o ganhador. O jogador A começa jogando contra o jogador B.
Construir o grafo de jogos sem repetição de estados, rotular os vértices, e determinar o ganhador.
Determinar a estratégia vencedora e uma regra de jogada para o ganhador. O jogador A começa jogando contra o jogador B.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um jogo chamado “resta um” com 10 moedas na mesa. Dois jogadores, A e B, se revezam para retirar 1, 2 ou 3 moedas por vez. Quem ficar com a última moeda na mesa perde. A matéria que vamos usar aqui é a teoria dos jogos combinatórios, que nos ajuda a determinar qual jogador tem vantagem e como ele pode vencer. Para resolver, precisamos construir o grafo de jogos sem repetir estados, rotular os vértices e descobrir quem é o ganhador, além de definir a estratégia vencedora.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um grafo de jogos. É como um mapa que mostra todas as possíveis situações do jogo (chamadas de estados) e como podemos passar de um estado para outro retirando moedas. Cada vértice representa um número de moedas na mesa, e as arestas mostram as ações possíveis (tirar 1, 2 ou 3 moedas).
Passo 3
Vamos começar a construir o grafo de jogos. O estado inicial é quando há 10 moedas na mesa. A partir daí, o jogador pode tirar 1, 2 ou 3 moedas, levando a novos estados com 9, 8 ou 7 moedas, respectivamente. Fazemos isso até chegarmos ao estado final, que é quando resta 1 moeda.
Passo 4
Agora, vamos rotular cada vértice com o número de moedas restantes. Por exemplo:
- Vértice 10: 10 moedas
- Vértice 9: 9 moedas
- …
- Vértice 1: 1 moeda
As arestas conectam um vértice a outros que representam os estados alcançáveis ao tirar 1, 2 ou 3 moedas.
Passo 5
Vamos analisar quem vence em cada estado. A regra é que quem ficar com 1 moeda na mesa perde. Então, se for a sua vez e restar 2, 3 ou 4 moedas, você pode tirar moedas de modo a deixar apenas 1 para o oponente, garantindo sua vitória.
Passo 6
Com base nisso, podemos identificar padrões. Se o número de moedas restante for um múltiplo de 4 (como 4, 8), o jogador que está na vez pode garantir a vitória tirando o número de moedas que faça com que o total restante seja novamente um múltiplo de 4 para o oponente.
Passo 7
Aplicando isso ao estado inicial com 10 moedas: 10 não é múltiplo de 4. O jogador A pode tirar 2 moedas, deixando 8 moedas para o jogador B. Como 8 é múltiplo de 4, A força B a estar sempre em situações perdedoras, seguindo a estratégia de sempre deixar múltiplos de 4 para o oponente.
Resposta
O jogador A é o ganhador se seguir a estratégia de sempre deixar múltiplos de 4 moedas para o jogador B. A regra de jogada é, a cada turno, tirar 1, 2 ou 3 moedas de modo que o total restante seja múltiplo de 4. Assim, A garante a vitória no jogo.