Em um dado instante de tempo, a distribuição de temperaturas no interior de um corpo homogêneo infinito é dada pela função:
Considerando propriedades constantes e ausência de geração de calor no interior do corpo, determine as regiões nas quais a temperatura varia com o tempo.
R.: A temperatura em qualquer região é independente do tempo.
R.: A temperatura em qualquer região é independente do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função que descreve a distribuição de temperaturas em um corpo homogêneo e infinito no espaço. A função é:
O que a gente precisa descobrir é em quais regiões essa temperatura muda com o tempo, considerando que as propriedades do material são constantes e que não há geração de calor dentro do corpo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Equilíbrio Térmico e Equação do Calor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a temperatura variar ou não com o tempo. Se a temperatura é independente do tempo, isso significa que, para qualquer ponto no espaço, a temperatura não muda enquanto o tempo passa. Matemáticamente, isso é representado pela derivada parcial da temperatura em relação ao tempo:
Passo 3
A próxima coisa que precisamos é a Equação do Calor para um meio homogêneo e sem geração de calor. A equação é:
Onde:
-
é a difusividade térmica do material. -
é o operador Laplaciano aplicado à temperatura .
Como o problema diz que
é constante e não há geração de calor, a equação simplifica.
Passo 4
Para a temperatura ser independente do tempo, a derivada temporal
deve ser zero. Então, temos:
Como
é diferente de zero, isso implica que:
Isso significa que a função de temperatura
deve satisfazer a Equação de Laplace.
Passo 5
Agora, vamos calcular o Laplaciano de
. O Laplaciano em três dimensões é dado por:
Vamos calcular cada derivada segunda:
- Em relação a
:
- Em relação a
:
- Em relação a
:
Passo 6
Agora, somamos todas as derivadas segundas:
Portanto,
, o que satisfaz a Equação de Laplace.
Passo 7
Como a condição
é satisfeita em todo o espaço, isso significa que não há regiões onde a temperatura depende do tempo. Em outras palavras, a temperatura é independente do tempo em todas as regiões do corpo.
Resposta
A temperatura em qualquer região é independente do tempo.