Em um dado instante de tempo, a distribuição de temperaturas no interior de um corpo homogêneo infinito é dada pela função:
Considerando propriedades constantes e ausência de geração de calor no interior do corpo, determine as regiões nas quais a temperatura varia com o tempo.
R.: A temperatura em qualquer região é independente do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função que descreve a distribuição de temperaturas em um corpo homogêneo e infinito no espaço. A função é:
O que a gente precisa descobrir é em quais regiões essa temperatura muda com o tempo, considerando que as propriedades do material são constantes e que não há geração de calor dentro do corpo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Equilíbrio Térmico e Equação do Calor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a temperatura variar ou não com o tempo. Se a temperatura é independente do tempo, isso significa que, para qualquer ponto no espaço, a temperatura não muda enquanto o tempo passa. Matemáticamente, isso é representado pela derivada parcial da temperatura em relação ao tempo:

Passo 3

A próxima coisa que precisamos é a Equação do Calor para um meio homogêneo e sem geração de calor. A equação é:
Onde:
  • é a difusividade térmica do material.
  • é o operador Laplaciano aplicado à temperatura .
Como o problema diz que é constante e não há geração de calor, a equação simplifica.

Passo 4

Para a temperatura ser independente do tempo, a derivada temporal deve ser zero. Então, temos:
Como é diferente de zero, isso implica que:
Isso significa que a função de temperatura deve satisfazer a Equação de Laplace.

Passo 5

Agora, vamos calcular o Laplaciano de . O Laplaciano em três dimensões é dado por:
Vamos calcular cada derivada segunda:
  1. Em relação a :
  1. Em relação a :
  1. Em relação a :

Passo 6

Agora, somamos todas as derivadas segundas:
Portanto, , o que satisfaz a Equação de Laplace.

Passo 7

Como a condição é satisfeita em todo o espaço, isso significa que não há regiões onde a temperatura depende do tempo. Em outras palavras, a temperatura é independente do tempo em todas as regiões do corpo.

Resposta

A temperatura em qualquer região é independente do tempo.

Exercícios relacionados

A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma parede unidimensional com condutividade térmica k e espessura L tem a forma:
Desenvolva expressões para os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede ( ).
R.:
Viscosidade Cinemática é:
a) A viscosidade de um fluido dividido por sua velocidade axial;
b) A viscosidade de um fluido dividido por sua massa específica;
c) A viscosidade de Fluidos Newtonianos;
d) A viscosidade de um fluido dividido por tensão cisalhante.
Responda se as seguintes afirmativas estão corretas ou erradas, justificando a resposta:
c) Um fluido ideal em escoamento não apresenta tensões cisalhantes.
Um fluido Dilatante é um no qual sua viscosidade é:
a) É constante com o tempo e com a velocidade de agitação;
b) É constante em relação a velocidade de agitação;
c) Aumenta com a velocidade de agitação;
d) Diminui com a velocidade de agitação.