Em um dado instante de tempo, a distribuição de temperaturas no interior de um corpo homogêneo infinito é dada pela função:
T(x, y, z)=x^2-2 y^2+z^2-x y+2 y z
Considerando propriedades constantes e ausência de geração de calor no interior do corpo, determine as regiões nas quais a temperatura varia com o tempo.
R.: A temperatura em qualquer região é independente do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função que descreve a distribuição de temperaturas em um corpo homogêneo e infinito no espaço. A função é:
T(x, y, z) = x^2 - 2y^2 + z^2 - xy + 2yz
O que a gente precisa descobrir é em quais regiões essa temperatura muda com o tempo, considerando que as propriedades do material são constantes e que não há geração de calor dentro do corpo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Equilíbrio Térmico e Equação do Calor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a temperatura variar ou não com o tempo. Se a temperatura é independente do tempo, isso significa que, para qualquer ponto no espaço, a temperatura não muda enquanto o tempo passa. Matemáticamente, isso é representado pela derivada parcial da temperatura em relação ao tempo:
partial Tpartial t = 0

Passo 3

A próxima coisa que precisamos é a Equação do Calor para um meio homogêneo e sem geração de calor. A equação é:
partial Tpartial t = alpha nabla^2 T
Onde:
  • é a difusividade térmica do material.
  • é o operador Laplaciano aplicado à temperatura .
Como o problema diz que é constante e não há geração de calor, a equação simplifica.

Passo 4

Para a temperatura ser independente do tempo, a derivada temporal 0 = alpha nabla^2 T deve ser zero. Então, temos:
nabla^2 T = 0
Como é diferente de zero, isso implica que:
Isso significa que a função de temperatura deve satisfazer a Equação de Laplace.

Passo 5

Agora, vamos calcular o Laplaciano de nabla^2 T = partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 . O Laplaciano em três dimensões é dado por:
partial Tpartial x = 2x - y partial^2 Tpartial x^2 = 2
Vamos calcular cada derivada segunda:
  1. Em relação a partial Tpartial y = -4y - x + 2z partial^2 Tpartial y^2 = -4 :
partial Tpartial z = 2z + 2y partial^2 Tpartial z^2 = 2
  1. Em relação a :
  1. Em relação a :

Passo 6

Agora, somamos todas as derivadas segundas:
nabla^2 T = 2 + (-4) + 2 = 0
Portanto, , o que satisfaz a Equação de Laplace.

Passo 7

Como a condição é satisfeita em todo o espaço, isso significa que não há regiões onde a temperatura depende do tempo. Em outras palavras, a temperatura é independente do tempo em todas as regiões do corpo.

Resposta

A temperatura em qualquer região é independente do tempo.

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