A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma parede unidimensional com condutividade térmica k e espessura L tem a forma:
Desenvolva expressões para os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede (
).
R.:
R.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a distribuição de temperatura em uma parede unidimensional, em regime estacionário, é dada por uma função cúbica:
Aqui,
é a temperatura em função da posição
na parede,
é a condutividade térmica da parede, e
é a espessura total da parede. Nosso objetivo é encontrar as expressões para os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede, ou seja, em
e
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Fourier da Condutividade Térmica, que relaciona o fluxo de calor com o gradiente de temperatura. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei de Fourier. Ela diz que o fluxo térmico
numa direção
é proporcional ao gradiente de temperatura nessa direção:
O sinal negativo indica que o calor flui de regiões de maior temperatura para regiões de menor temperatura.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função de temperatura
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Com a derivada em mãos, podemos aplicar a Lei de Fourier para encontrar o fluxo térmico:
Essa é a expressão geral para o fluxo térmico em qualquer ponto
da parede.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede: em
e
.
Para
:
Substituímos
por 0 na expressão de
:
Para
:
Substituímos
por
:
Resposta
As expressões para os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede são:
e