A distribuição de temperaturas, em regime estacionário, em uma parede unidimensional com condutividade térmica k e espessura L tem a forma:
T(x)=A x^3+B x^2+C x+D
Desenvolva expressões para os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede ( x=0 e x=L ).
R.: x=0: qx^prime(0)=-kC x=L: qx^prime(L)=-k[3 A L^2+2 BL+C]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a distribuição de temperatura em uma parede unidimensional, em regime estacionário, é dada por uma função cúbica:
T(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D
Aqui, é a temperatura em função da posição na parede, é a condutividade térmica da parede, e é a espessura total da parede. Nosso objetivo é encontrar as expressões para os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede, ou seja, em e .
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Fourier da Condutividade Térmica, que relaciona o fluxo de calor com o gradiente de temperatura. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei de Fourier. Ela diz que o fluxo térmico q'x = -k dTdx numa direção é proporcional ao gradiente de temperatura nessa direção:
O sinal negativo indica que o calor flui de regiões de maior temperatura para regiões de menor temperatura.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função de temperatura T(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D em relação a dTdx = 3A x^2 + 2B x + C :
Derivando termo a termo:

Passo 4

Com a derivada em mãos, podemos aplicar a Lei de Fourier para encontrar o fluxo térmico:
q'x = -k ( 3A x^2 + 2B x + C )
Essa é a expressão geral para o fluxo térmico em qualquer ponto da parede.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede: em q'x(0) = -k ( 3A (0)^2 + 2B (0) + C ) = -k C e q'x(L) = -k ( 3A L^2 + 2B L + C ) .
Para :
Substituímos por 0 na expressão de :
Para :
Substituímos por :

Resposta

As expressões para os fluxos térmicos nas duas superfícies da parede são:
x = 0: q'x(0) = -k C
e
x = L: q'x(L) = -k ( 3A L^2 + 2B L + C )

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