Dado o modelo econométrico ajustado:
prove, formalmente, que o método dos mínimos quadrados ordinários consegue captar a influência de
sobre
, mantendo constantes os efeitos de
e
. (1,25 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos entrega um modelo econométrico ajustado que relaciona a variável dependente
com três variáveis independentes
,
e
usando o método dos mínimos quadrados ordinários (OLS). Nosso objetivo aqui é provar, de forma formal, que o OLS consegue identificar o impacto de
sobre
, mantendo os efeitos de
e
constantes. Para isso, vamos precisar entender como o OLS funciona em modelos de regressão múltipla e como ele captura esses efeitos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método dos mínimos quadrados ordinários (OLS). O OLS é uma técnica usada para estimar os coeficientes de um modelo de regressão linear. Ele faz isso minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados de
e os valores previstos pelo modelo. Ou seja, o OLS ajusta os coeficientes
e
de forma que a linha ou hiperplano ajustado seja o mais próximo possível dos pontos de dados.
Passo 3
No contexto de regressão múltipla, quando temos mais de uma variável independente, cada coeficiente
representa o efeito marginal daquela variável sobre
, mantendo todas as outras variáveis constantes. Isso significa que
mede o impacto de
sobre
enquanto
e
permanecem fixos. Essa propriedade é fundamental porque permite isolar o efeito específico de cada variável independente no modelo.
Passo 4
Para provar formalmente que o OLS capta a influência de
sobre
mantendo os efeitos de
e
constantes, consideramos a equação do modelo:
Ao estimar esses coeficientes usando OLS, o método ajusta
levando em conta a variação em
enquanto controla para
e
. Isso é feito através das derivadas parciais da função de erro em relação a cada
, garantindo que o efeito de
seja isolado das outras variáveis.
Passo 5
Mais detalhadamente, as derivadas parciais utilizadas no OLS para estimar os coeficientes garantem que:
Isso implica que
é ajustado de maneira a minimizar o erro quadrático restante após considerar as influências de
e
. Assim,
reflete o efeito isolado de
sobre
, mantendo constantes os efeitos das outras variáveis.
Resposta
Portanto, o método dos mínimos quadrados ordinários (
) efetivamente capta a influência de
sobre
ao estimar
, mantendo constantes os efeitos de
e
.