Dado o modelo econométrico ajustado: Y=beta0+beta1 X1+beta2 X2+beta3 X3 prove, formalmente, que o método dos mínimos quadrados ordinários consegue captar a influência de X1 sobre Y, mantendo constantes os efeitos de X2 e X3. (1,25 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos entrega um modelo econométrico ajustado que relaciona a variável dependente com três variáveis independentes , e usando o método dos mínimos quadrados ordinários (OLS). Nosso objetivo aqui é provar, de forma formal, que o OLS consegue identificar o impacto de sobre , mantendo os efeitos de e constantes. Para isso, vamos precisar entender como o OLS funciona em modelos de regressão múltipla e como ele captura esses efeitos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método dos mínimos quadrados ordinários (OLS). O OLS é uma técnica usada para estimar os coeficientes de um modelo de regressão linear. Ele faz isso minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados de e os valores previstos pelo modelo. Ou seja, o OLS ajusta os coeficientes e de forma que a linha ou hiperplano ajustado seja o mais próximo possível dos pontos de dados.

Passo 3

No contexto de regressão múltipla, quando temos mais de uma variável independente, cada coeficiente representa o efeito marginal daquela variável sobre , mantendo todas as outras variáveis constantes. Isso significa que mede o impacto de sobre enquanto e permanecem fixos. Essa propriedade é fundamental porque permite isolar o efeito específico de cada variável independente no modelo.

Passo 4

Para provar formalmente que o OLS capta a influência de Y = beta0 + beta1 X1 + beta2 X2 + beta3 X3 sobre mantendo os efeitos de e constantes, consideramos a equação do modelo:
Ao estimar esses coeficientes usando OLS, o método ajusta levando em conta a variação em enquanto controla para e . Isso é feito através das derivadas parciais da função de erro em relação a cada , garantindo que o efeito de seja isolado das outras variáveis.

Passo 5

Mais detalhadamente, as derivadas parciais utilizadas no OLS para estimar os coeficientes garantem que:
partialpartial beta1 sum (Y - Y)^2 = 0
Isso implica que é ajustado de maneira a minimizar o erro quadrático restante após considerar as influências de e . Assim, reflete o efeito isolado de sobre , mantendo constantes os efeitos das outras variáveis.

Resposta

Portanto, o método dos mínimos quadrados ordinários ( ) efetivamente capta a influência de sobre ao estimar , mantendo constantes os efeitos de e .

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