Dado o ponto P(p, 1, q) pertencente à reta que passa por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1), os valores de p e q, são, respectivamente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um ponto $ P(p, 1, q) $ que está numa reta que passa por dois pontos, $ A(3, -1, 4) $ e $ B(4, -3, -1) $. O conteúdo que vamos usar aqui é de geometria analítica, mais especificamente sobre retas no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como representar uma reta com equações paramétricas e encontrar os valores de $ p $ e $ q $ que fazem o ponto $ P $ pertencer a essa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor diretor da reta $ AB $. Isso é simplesmente a diferença das coordenadas de $ B $ e $ A $. Ou seja:
AB
Esse vetor nos diz a direção em que a reta está apontando.

Passo 3

Com o vetor diretor em mãos, podemos escrever as equações paramétricas da reta. Usamos um parâmetro, que vamos chamar de $ t $, para representar qualquer ponto na reta:
t
Aqui, $ (3, -1, 4) $ são as coordenadas do ponto $ A $, e cada componente é ajustada pelo vetor diretor multiplicado por $ t $.

Passo 4

Sabemos que o ponto $ P $ tem coordenadas $ (p, 1, q) $ e está na reta, então suas coordenadas devem satisfazer as equações paramétricas. Vamos começar olhando para a coordenada $ y $:
P
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ t $:
(p, 1, q)

Passo 5

Com o valor de $ t = -1 $, podemos substituir nas equações paramétricas para encontrar $ p $ e $ q $.
Para $ x $:
t = -1
Para $ z $:
p

Resposta

Os valores de $ p $ e $ q $ são, respectivamente, $ 2 $ e $ 9 $.

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