Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume deste prisma, em cm³, é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um prisma hexagonal regular com altura de 3 cm. Sabemos que a área lateral desse prisma é o dobro da área da base. Queremos descobrir qual é o volume desse prisma. Para isso, vamos precisar entender como calcular a área da base, a área lateral e, por fim, o volume de um prisma regular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área lateral de um prisma é calculada multiplicando o perímetro da base pela altura do prisma. Então, a fórmula é:
Área Lateral = Perímetro da Base times AÁí
Como estamos lidando com um prisma hexagonal regular, o perímetro da base é 6 vezes o comprimento de um lado do hexágono.

Passo 3

Agora, vamos pensar na área da base. Para um hexágono regular, a área pode ser calculada usando a fórmula:
Área da Base = 3raiz32 times a^2 Á
Onde $ a $ é o comprimento de um lado do hexágono.

Passo 4

De acordo com o enunciado, a área lateral é o dobro da área da base. Então, temos:
Área Lateral = 2 times Área da Base ÁÁ
Substituindo as fórmulas que já conhecemos:
Perímetro da Base times Aí
6a times 3 = 3raiz3 times a^2

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para encontrar o valor de $ a $:
a
Dividindo ambos os lados por $ 3a $ (lembrando que $ a \neq 0 $):
18a = 3raiz3 times a^2
3a

Passo 6

Racionalizando o denominador para simplificar:
a = 6raiz3 times raiz3raiz3 = 6raiz33 = 2raiz3 , cm

Passo 7

Agora que temos o valor de $ a $, vamos calcular a área da base:
a Á
Área da Base = 3raiz32 times (2raiz3)^2 Á

Passo 8

Finalmente, o volume do prisma é a área da base multiplicada pela altura:
Volume = Área da Base times AÁ
Volume = 18raiz3 times 3 = 54raiz3 , cm^3

Resposta

O volume do prisma é $ 54\sqrt{3} , cm^3 $.

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