Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume deste prisma, em cm³, é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um prisma hexagonal regular com altura de 3 cm. Sabemos que a área lateral desse prisma é o dobro da área da base. Queremos descobrir qual é o volume desse prisma. Para isso, vamos precisar entender como calcular a área da base, a área lateral e, por fim, o volume de um prisma regular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área lateral de um prisma é calculada multiplicando o perímetro da base pela altura do prisma. Então, a fórmula é:
Como estamos lidando com um prisma hexagonal regular, o perímetro da base é 6 vezes o comprimento de um lado do hexágono.
Passo 3
Agora, vamos pensar na área da base. Para um hexágono regular, a área pode ser calculada usando a fórmula:
Onde $ a $ é o comprimento de um lado do hexágono.
Passo 4
De acordo com o enunciado, a área lateral é o dobro da área da base. Então, temos:
Substituindo as fórmulas que já conhecemos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para encontrar o valor de $ a $:
Dividindo ambos os lados por $ 3a $ (lembrando que $ a \neq 0 $):
Passo 6
Racionalizando o denominador para simplificar:
Passo 7
Agora que temos o valor de $ a $, vamos calcular a área da base:
Passo 8
Finalmente, o volume do prisma é a área da base multiplicada pela altura:
Resposta
O volume do prisma é $ 54\sqrt{3} , cm^3 $.