Os dados a seguir mostram o consumo de energia (em kWh ) de diferentes máquinas industriais durante um ciclo completo de operação:
llllll 45.5 & 42.3 & 47.8 & 46.0 & 49.5 & 48.2 43.1 & 44.7 & 46.3 & 47.0 & 50.2 & 42.8 44.0 & 45.6 & 47.5 & 46.8 & 50.8 & 52.3
Com base nos dados, calcule:
Intervalo de confiança para um nível de significância de 5%

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos o intervalo de confiança para o consumo de energia das máquinas industriais com um nível de significância de 5%. Isso significa que queremos ter 95% de certeza sobre o intervalo onde a média do consumo está. Para isso, vamos precisar dos dados fornecidos, calcular a média, o desvio padrão e usar a fórmula do intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados para facilitar os cálculos. Os valores de consumo de energia (em kWh) são:
45.5, 42.3, 47.8, 46.0, 49.5, 48.2, 43.1, 44.7, 46.3, 47.0, 50.2, 42.8, 44.0, 45.6, 47.5, 46.8, 50.8, 52.3
Totalizando 18 valores.

Passo 3

Vamos calcular a média ( barx) desses dados. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de observações.
barx = 45.5 + 42.3 + 47.8 + 46.0 + 49.5 + 48.2 + 43.1 + 44.7 + 46.3 + 47.0 + 50.2 + 42.8 + 44.0 + 45.6 + 47.5 + 46.8 + 50.8 + 52.318
Vamos somar todos esses números:
45.5 + 42.3 = 87.8 87.8 + 47.8 = 135.6 135.6 + 46.0 = 181.6 181.6 + 49.5 = 231.1 231.1 + 48.2 = 279.3 279.3 + 43.1 = 322.4 322.4 + 44.7 = 367.1 367.1 + 46.3 = 413.4 413.4 + 47.0 = 460.4 460.4 + 50.2 = 510.6 510.6 + 42.8 = 553.4 553.4 + 44.0 = 597.4 597.4 + 45.6 = 643.0 643.0 + 47.5 = 690.5 690.5 + 46.8 = 737.3 737.3 + 50.8 = 788.1 788.1 + 52.3 = 840.4
Agora, dividimos pelo número de observações:
barx = 840.418 approx 46.69 kWh

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio padrão ( s) dos dados. O desvio padrão mede o quanto os valores se afastam da média. A fórmula é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Onde:
  • xi são os valores individuais
  • barx é a média
  • n é o número de observações
Vamos calcular cada (xi - barx)^2:
(45.5 - 46.69)^2 approx 1.4081 (42.3 - 46.69)^2 approx 19.5521 (47.8 - 46.69)^2 approx 1.2225 (46.0 - 46.69)^2 approx 0.4761 (49.5 - 46.69)^2 approx 8.1721 (48.2 - 46.69)^2 approx 2.3161 (43.1 - 46.69)^2 approx 12.1021 (44.7 - 46.69)^2 approx 3.9201 (46.3 - 46.69)^2 approx 0.1521 (47.0 - 46.69)^2 approx 0.0961 (50.2 - 46.69)^2 approx 12.3721 (42.8 - 46.69)^2 approx 15.2561 (44.0 - 46.69)^2 approx 7.2361 (45.6 - 46.69)^2 approx 1.1881 (47.5 - 46.69)^2 approx 0.6561 (46.8 - 46.69)^2 approx 0.0121 (50.8 - 46.69)^2 approx 17.1721 (52.3 - 46.69)^2 approx 31.6321
Somando todos esses valores:
1.4081 + 19.5521 + 1.2225 + 0.4761 + 8.1721 + 2.3161 + 12.1021 + 3.9201 + 0.1521 + 0.0961 + 12.3721 + 15.2561 + 7.2361 + 1.1881 + 0.6561 + 0.0121 + 17.1721 + 31.6321 approx 125.8818
Agora, dividimos pela quantidade de observações menos um ( n - 1 = 17):
s = raiz125.881817 approx raiz7.4065 approx 2.720 kWh

Passo 5

Para calcular o intervalo de confiança, vamos usar a fórmula:
barx pm talpha/2 times sraizn
Onde:
  • barx é a média
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t de Student para um nível de confiança de 95% e n - 1 graus de liberdade
  • s é o desvio padrão
  • n é o número de observações
Como nosso nível de significância é 5%, alpha = 0.05 e alpha/2 = 0.025. Com n - 1 = 17 graus de liberdade, consultamos a tabela t e encontramos que t0.025, 17 approx 2.110.

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
46.69 pm 2.110 times 2.720raiz18
Primeiro, calculamos 2.720raiz18:
raiz18 approx 4.243 2.7204.243 approx 0.640
Agora, multiplicamos por t:
2.110 times 0.640 approx 1.350

Passo 7

Finalmente, calculamos os limites do intervalo:
46.69 - 1.350 approx 45.34 46.69 + 1.350 approx 48.04

Resposta

O intervalo de confiança para o consumo médio de energia das máquinas industriais, com 95% de confiança, é de aproximadamente 45.34 kWh a 48.04 kWh.

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