Decompondo o polinômio P(x) = 5x² – 5x – 30 em fatores do 1º grau, obtém-se:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para decompor o polinômio $ P(x) = 5x² - 5x - 30 $ em fatores de primeiro grau. Isso significa que vamos transformar esse polinômio quadrático em um produto de dois polinômios de primeira potência, tipo $ (ax + b)(cx + d) $. Para resolver, vamos usar o método de fatoração de trinômios do segundo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o polinômio. Podemos perceber que todos os termos têm um fator comum, que é o 5. Então, vamos fatorar o 5:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é fatorar o polinômio quadrático dentro dos parênteses: $ x² - x - 6 $. Para isso, precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1, que é o coeficiente de $ x $.
Passo 4
Vamos pensar nos fatores de -6:
- 1 e -6: $ 1 \times (-6) = -6 $ e $ 1 + (-6) = -5 $
- -1 e 6: $ (-1) \times 6 = -6 $ e $ (-1) + 6 = 5 $
- 2 e -3: $ 2 \times (-3) = -6 $ e $ 2 + (-3) = -1 $
Perfeito! Os números 2 e -3 funcionam porque $ 2 \times (-3) = -6 $ e $ 2 + (-3) = -1 $.
Passo 5
Com esses números, podemos escrever o polinômio quadrático como:
Passo 6
Agora, substituímos de volta no polinômio original que fatoramos:
Resposta
A decomposição do polinômio $ P(x) = 5x² - 5x - 30 $ em fatores de primeiro grau é: