Decompondo o polinômio P(x) = 5x² – 5x – 30 em fatores do 1º grau, obtém-se:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para decompor o polinômio $ P(x) = 5x² - 5x - 30 $ em fatores de primeiro grau. Isso significa que vamos transformar esse polinômio quadrático em um produto de dois polinômios de primeira potência, tipo $ (ax + b)(cx + d) $. Para resolver, vamos usar o método de fatoração de trinômios do segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o polinômio. Podemos perceber que todos os termos têm um fator comum, que é o 5. Então, vamos fatorar o 5:
P(x) = 5(x² - x - 6) ²

Passo 3

Agora, nosso objetivo é fatorar o polinômio quadrático dentro dos parênteses: $ x² - x - 6 $. Para isso, precisamos encontrar dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1, que é o coeficiente de $ x $.

Passo 4

Vamos pensar nos fatores de -6:
  • 1 e -6: $ 1 \times (-6) = -6 $ e $ 1 + (-6) = -5 $
  • -1 e 6: $ (-1) \times 6 = -6 $ e $ (-1) + 6 = 5 $
  • 2 e -3: $ 2 \times (-3) = -6 $ e $ 2 + (-3) = -1 $
Perfeito! Os números 2 e -3 funcionam porque $ 2 \times (-3) = -6 $ e $ 2 + (-3) = -1 $.

Passo 5

Com esses números, podemos escrever o polinômio quadrático como:
x² - x - 6 = (x + 2)(x - 3) ²

Passo 6

Agora, substituímos de volta no polinômio original que fatoramos:
P(x) = 5(x + 2)(x - 3)

Resposta

A decomposição do polinômio $ P(x) = 5x² - 5x - 30 $ em fatores de primeiro grau é:
P(x) = 5x² - 5x - 30

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