Deduza a equação de Bernoulli.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzir a equação de Bernoulli. Isso está dentro do estudo da hidrodinâmica, que faz parte da mecânica dos fluidos. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de energia em fluidos em movimento, como energia cinética, pressão e energia potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em um fluido se movendo ao longo de um tubo. Imagine que o fluido está fluindo de um ponto A para um ponto B. Queremos relacionar diferentes formas de energia nesse fluxo.
Passo 3
A equação de Bernoulli baseia-se na Lei da Conservação da Energia, que diz que a energia total em um sistema isolado permanece constante. No caso do fluido, as formas de energia envolvidas são:
- Energia cinética (E_c): relacionada à velocidade do fluido.
- Energia de pressão (E_p): relacionada à pressão do fluido.
- Energia potencial gravitacional (E_g): relacionada à altura do fluido em relação a um referencial.
Passo 4
Vamos expressar cada uma dessas energias matematicamente:
- Energia cinética:
- Energia de pressão:
, onde é a pressão. - Energia potencial:
Aqui,
é a densidade do fluido,
é a velocidade,
é a aceleração da gravidade e
é a altura.
Passo 5
De acordo com a conservação da energia, a soma dessas energias nos pontos A e B deve ser igual. Então, temos:
Passo 6
Agora, organizamos a equação para destacar a relação entre pressão, velocidade e altura:
Passo 7
Essa é a equação de Bernoulli. Ela mostra que em um fluxo constante, o aumento na velocidade do fluido resulta em uma diminuição na pressão ou na energia potencial, e vice-versa.
Resposta
Assim, deduzimos que a equação de Bernoulli é:
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