Deduza a equação para a diferença de pressão entre dois pontos em um fluido incompressível em repouso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para deduzir a equação que mostra a diferença de pressão entre dois pontos em um fluido que não está se movendo e não pode ser comprimido. Isso faz parte do estudo da hidrostática, que é a área da física que trata dos fluidos em repouso. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como pressão, força e como elas se relacionam em um fluido estático.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é pressão. Pressão é a força exercida por unidade de área. Matemáticamente, isso é representado por:
Onde:
- $ P $ é a pressão,
- $ F $ é a força,
- $ A $ é a área.
Passo 3
Agora, imagine um pedaço de fluido em repouso. Para ele estar em equilíbrio, a força para baixo devido ao peso do fluido deve ser equilibrada pelas forças de pressão nas partes superior e inferior desse pedaço.
Passo 4
Vamos considerar dois pontos no fluido, um acima do outro, separados por uma altura $ \Delta h $. A pressão no ponto inferior é $ P_1 $ e no ponto superior é $ P_2 $.
Passo 5
A diferença de pressão entre esses dois pontos ($ \Delta P $) é o que precisamos encontrar:
Passo 6
O peso do pedaço de fluido entre esses dois pontos é a massa do fluido multiplicada pela aceleração da gravidade. A massa pode ser expressa como a densidade do fluido ($ \rho $) vezes o volume. Assumindo uma área $ A $, o volume é $ A \Delta h
F_g $) é:
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 7
Como o fluido está em equilíbrio, a força de pressão inferior menos a força de pressão superior deve igualar o peso do fluido:
Passo 8
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por $ A $:
Resposta
A diferença de pressão entre dois pontos em um fluido incompressível em repouso é dada por: