Explique como o princípio de conservação da quantidade de movimento é usado para derivar a equação da pressão hidrostática.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma questão sobre como o princípio de conservação da quantidade de movimento é usado para chegar na equação da pressão hidrostática. Basicamente, a gente vai precisar entender um pouquinho de dinâmica dos fluidos e como aplicar a conservação da quantidade de movimento para descobrir como a pressão varia com a profundidade em um líquido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a quantidade de movimento. Ela é dada pelo produto da massa de um objeto pela sua velocidade. No caso dos fluidos, como a água por exemplo, a quantidade de movimento está relacionada ao movimento das partículas do líquido.
Passo 3
O princípio de conservação da quantidade de movimento diz que, se não há forças externas agindo sobre um sistema, a quantidade de movimento total desse sistema permanece constante. No contexto dos fluidos em repouso (hidrostática), isso significa que as forças que empurram o fluido para baixo devem ser equilibradas pelas forças que empurram para cima.
Passo 4
Vamos imaginar uma pequena “caixinha” dentro do líquido, com uma área $ A $ e uma altura $ h $. Nessa caixinha, tem a pressão $ P $ na parte inferior e a pressão $ P_0 $ na parte superior. Além disso, há a força da gravidade agindo sobre essa caixinha.
Passo 5
Aplicando o princípio de conservação da quantidade de movimento, a força total para baixo deve ser igual à força total para cima para que a caixinha esteja em equilíbrio (sem se mover). A força para baixo é due ao peso da caixinha ($ F_{peso} = m \cdot g = \rho \cdot V \cdot g $), onde $ \rho $ é a densidade do líquido, $ V $ é o volume ($ A \cdot h $), e $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 6
A força para cima é a diferença de pressão entre a superfície inferior e superior da caixinha multiplicada pela área ($ F_{pressão} = (P - P_0) \cdot A $).
Passo 7
Igualando as forças para manter o equilíbrio:
Passo 8
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ A $:
Resposta
A partir da conservação da quantidade de movimento, chegamos à equação da pressão hidrostática:
Onde:
- $ P $ é a pressão em uma profundidade $ h $,
- $ P_0 $ é a pressão na superfície do líquido,
- $ \rho $ é a densidade do líquido,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a profundidade.