Deduza a equação da resposta de corrente iC(t) de um circuito puramente capacitivo conectado à uma fonte alternada dada pela relação vC(t)=VC sin (omega t). Qual a
constante de fase phi que descreve a defasagem da corrente com relação ao potencial? Esboce um gráfico de vC e iC em função do tempo t, ilustrando a defasagem entre as grandezas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um circuito somente com um capacitor ligado a uma fonte de corrente alternada, onde a tensão no capacitor é dada por $ v_C(t) = V_C \sin(\omega t) $. Nosso objetivo é encontrar a expressão para a corrente $ i_C(t) $ nesse circuito e descobrir a constante de fase $ \phi $ que mostra como a corrente se desfasa em relação à tensão. Para isso, vamos usar conceitos de corrente em capacitores e relação entre tensão e corrente em circuitos de corrente alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a corrente em um capacitor está relacionada à taxa de variação da tensão. A fórmula básica é:
iC(t) = C dvC(t)dt
Aqui, $ C $ é a capacitância do capacitor e $ \frac{dv_C(t)}{dt} $ é a derivada da tensão em relação ao tempo.

Passo 3

Agora, vamos substituir a expressão dada para $ v_C(t) $ na fórmula da corrente:
vC(t)
Derivando essa função em relação ao tempo:
vC(t) = VC sin(omega t)

Passo 4

Substituindo a derivada de volta na expressão da corrente:
iC(t) = C cdot VC omega cos(omega t)
Podemos reescrever o cosseno como uma função seno com defasagem de 90 graus (ou $ \frac{\pi}{2} $ radianos):
pi2
Então, a corrente fica:
cos(omega t) = sin(omega t + pi2)

Passo 5

Agora, vamos identificar a constante de fase $ \phi $. Observando a expressão da corrente:
phi
Vemos que a corrente está adiantada em relação à tensão em $ \frac{\pi}{2} $ radianos, ou seja, $ \phi = \frac{\pi}{2} $.

Resposta

A corrente no circuito capacitivo é dada por:
iC(t) = C VC omega sin(omega t + pi2)
A constante de fase $ \phi $ que descreve o defasagem da corrente em relação à tensão é:
phi
Além disso, no gráfico, a corrente $ i_C(t) $ estará adiantada em 90 graus em relação à tensão $ v_C(t) $, ou seja, o pico da corrente ocorre quando a tensão está cruzando zero subindo.

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