Deduza a equação da resposta de corrente
de um circuito puramente capacitivo conectado à uma fonte alternada dada pela relação
. Qual a
constante de fase
que descreve a defasagem da corrente com relação ao potencial? Esboce um gráfico de
e
em função do tempo
, ilustrando a defasagem entre as grandezas.
constante de fase
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um circuito somente com um capacitor ligado a uma fonte de corrente alternada, onde a tensão no capacitor é dada por $ v_C(t) = V_C \sin(\omega t) $. Nosso objetivo é encontrar a expressão para a corrente $ i_C(t) $ nesse circuito e descobrir a constante de fase $ \phi $ que mostra como a corrente se desfasa em relação à tensão. Para isso, vamos usar conceitos de corrente em capacitores e relação entre tensão e corrente em circuitos de corrente alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a corrente em um capacitor está relacionada à taxa de variação da tensão. A fórmula básica é:
Aqui, $ C $ é a capacitância do capacitor e $ \frac{dv_C(t)}{dt} $ é a derivada da tensão em relação ao tempo.
Passo 3
Agora, vamos substituir a expressão dada para $ v_C(t) $ na fórmula da corrente:
Derivando essa função em relação ao tempo:
Passo 4
Substituindo a derivada de volta na expressão da corrente:
Podemos reescrever o cosseno como uma função seno com defasagem de 90 graus (ou $ \frac{\pi}{2} $ radianos):
Então, a corrente fica:
Passo 5
Agora, vamos identificar a constante de fase $ \phi $. Observando a expressão da corrente:
Vemos que a corrente está adiantada em relação à tensão em $ \frac{\pi}{2} $ radianos, ou seja, $ \phi = \frac{\pi}{2} $.
Resposta
A corrente no circuito capacitivo é dada por:
A constante de fase $ \phi $ que descreve o defasagem da corrente em relação à tensão é:
Além disso, no gráfico, a corrente $ i_C(t) $ estará adiantada em 90 graus em relação à tensão $ v_C(t) $, ou seja, o pico da corrente ocorre quando a tensão está cruzando zero subindo.