Deduza, geometricamente, a relação entre a (parâmetro de rede) e r (raio atômico) para as estruturas CCC e CFC.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente precisa descobrir, de forma geométrica, como se relaciona o parâmetro de rede $ a $ com o raio atômico $ r $ nas estruturas CCC (Cubo de Corpo Centrado) e CFC (Cubo de Face Centrado). Para isso, vamos precisar entender como os átomos estão arranjados nessas estruturas e usar um pouco de geometria para encontrar a relação entre $ a $ e $ r $.
Passo 2
Vamos começar com o Cubo de Corpo Centrado (CCC). Nessa estrutura, além dos átomos nos oito cantos do cubo, tem um átomo no centro do cubo. Para encontrar a relação entre $ a $ e $ r $, vamos olhar para a diagonal do corpo do cubo, que passa de um canto do cubo, pelo centro, até o canto oposto.
Passo 3
Imagine que você trace uma linha do canto inferior esquerdo até o canto superior direito do cubo, passando pelo centro. Essa linha é a diagonal do corpo e seu comprimento pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras no espaço tridimensional. A fórmula para a diagonal do corpo é:
Passo 4
Na estrutura CCC, essa diagonal do corpo passa por dois raios atômicos completos do átomo central, além dos raios dos dois átomos dos cantos que estão tocando o átomo central. Isso significa que a diagonal do corpo é igual a quatro vezes o raio atômico $ r $:
Passo 5
Agora, isolando $ a $ na equação, temos:
Então, essa é a relação entre o parâmetro de rede $ a $ e o raio atômico $ r $ para a estrutura CCC.
Passo 6
Vamos passar para o Cubo de Face Centrado (CFC). Nessa estrutura, além dos átomos nos oito cantos do cubo, tem um átomo no centro de cada uma das seis faces do cubo. Para encontrar a relação entre $ a $ e $ r $, vamos olhar para a diagonal da face do cubo, que vai de um canto até o canto oposto passando pelo centro da face.
Passo 7
A diagonal da face pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras no plano da face. A fórmula para a diagonal da face é:
Passo 8
Na estrutura CFC, essa diagonal da face passa por dois raios atômicos completos dos átomos que estão nos cantos e no centro da face. Isso significa que a diagonal da face é igual a quatro vezes o raio atômico $ r $:
Passo 9
Isolando $ a $ na equação, temos:
Então, essa é a relação entre o parâmetro de rede $ a $ e o raio atômico $ r $ para a estrutura CFC.
Resposta
Para as estruturas CCC e CFC, as relações entre o parâmetro de rede $ a $ e o raio atômico $ r $ são:
- CCC: $ a = \dfrac{4r}{\sqrt{3}} $
- CFC: $ a = 2\sqrt{2} , r $