As deformações principais em um ponto sobre a superfície de alumínio de um tanque são varepsilon1=560 cdot 10^-6, varepsilon2= 310 cdot 10^-6. Se for um caso de estado plano de tensão, determine as tensões principais associadas no ponto no mesmo plano. Eal=70 GPa, Val=0,33.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas deformações principais em um ponto na superfície de um tanque de alumínio:
varepsilon1 = 560 times 10^-6, varepsilon2 = 310 times 10^-6
Estamos lidando com um estado plano de tensão, o que significa que uma das tensões (normalmente sigma3) é zero. Queremos descobrir quais são as tensões principais nesse mesmo ponto. Para isso, vamos usar as relações de Hooke para um material isotrópico em estado plano de tensão, que envolvem o Módulo de Elasticidade (E) e o Coeficiente de Poisson ( nu). No nosso caso:
Eal = 70 , GPa, nual = 0,33

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as relações de Hooke para o estado plano de tensão. Em termos das deformações principais ( varepsilon1, varepsilon2) e das tensões principais ( sigma1, sigma2), temos:
sigma1 = E1 - nu^2 (varepsilon1 + nu varepsilon2)
sigma2 = E1 - nu^2 (varepsilon2 + nu varepsilon1)
Essas equações relacionam as deformações com as tensões, levando em conta o comportamento elástico do material.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos nas equações:
Primeiro, calculamos o fator de normalização:
E1 - nu^2 = 70 times 10^3 , MPa1 - (0,33)^2 = 70 times 10^31 - 0,1089 = 70 times 10^30,8911 approx 78,58 times 10^3 , MPa
Agora, calculamos sigma1:
sigma1 = 78,58 times 10^3 times (560 times 10^-6 + 0,33 times 310 times 10^-6)
sigma1 = 78,58 times 10^3 times (560 times 10^-6 + 102,3 times 10^-6)
sigma1 = 78,58 times 10^3 times 662,3 times 10^-6 approx 52,15 , MPa
Agora, calculamos sigma2:
sigma2 = 78,58 times 10^3 times (310 times 10^-6 + 0,33 times 560 times 10^-6)
sigma2 = 78,58 times 10^3 times (310 times 10^-6 + 184,8 times 10^-6)
sigma2 = 78,58 times 10^3 times 494,8 times 10^-6 approx 38,89 , MPa

Resposta

As tensões principais no ponto são aproximadamente:
sigma1 approx 52,15 , MPa, sigma2 approx 38,89 , MPa

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