De
Onde a, b e c são constantes. T e P são as temperatura e pressão, respectivamente. NA e NB são as frações molares dos componentes.
Encontre, para cada componente:
i) Energia Livre de Gibbs parcial de excesso (para A e B)
ii) Entropia parcial de excesso (para A e B)
iii) Entalpia parcial de excesso (para A e B)
iv) Volume parcial molar (assuma T constante - para A e B)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou pertence à área de Termodinâmica, mais especificamente ao estudo das propriedades termodinâmicas de misturas. A gente vai precisar lidar com a Energia Livre de Gibbs de excesso da mistura e, a partir daí, encontrar várias propriedades parciais para os componentes A e B. Vamos resolver passo a passo para entender cada parte direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula dada:
De
Aqui, De representa a Energia Livre de Gibbs de excesso da mistura. As constantes a, b e c são valores fixos, T é a temperatura, P é a pressão, e NA e NB são as frações molares dos componentes A e B, respectivamente.

Passo 3

Vamos começar pelo item i) Energia Livre de Gibbs parcial de excesso (para A e B). A Energia Livre de Gibbs parcial de excesso de um componente em uma mistura é obtida derivando a energia livre de Gibbs total de excesso em relação à fração molar desse componente, mantendo constantes as outras variáveis (temperatura, pressão e a quantidade do outro componente).
Matematicamente, para o componente A:
GA^X = ( partial De
E para o componente B:
GB^X = ( partial De

Passo 4

Vamos calcular GA^X:
GA^X = partialpartial NA [ a(1 - b T)(1 - c P) NA NB ] = a(1 - b T)(1 - c P) NB
Analogamente, para GB^X:
GB^X = partialpartial NB [ a(1 - b T)(1 - c P) NA NB ] = a(1 - b T)(1 - c P) NA

Passo 5

Agora, vamos para o item ii) Entropia parcial de excesso (para A e B). A Entropia de excesso parcial de um componente é a derivada da Energia Livre de Gibbs de excesso parcial em relação à temperatura, mantendo constante a pressão e a quantidade dos componentes.
Para o componente A:
SA^X = -( partial GA^Xpartial T )P,NB
E para o componente B:
SB^X = -( partial GB^Xpartial T )P,NA

Passo 6

Vamos calcular SA^X:
SA^X = -partialpartial T [ a(1 - b T)(1 - c P) NB ] = -a(-b)(1 - c P) NB = a b (1 - c P) NB
Analogamente, para SB^X:
SB^X = -partialpartial T [ a(1 - b T)(1 - c P) NA ] = -a(-b)(1 - c P) NA = a b (1 - c P) NA

Passo 7

Agora, vamos para o item iii) Entalpia parcial de excesso (para A e B). A Entalpia de excesso parcial é relacionada à Energia Livre de Gibbs e à Entropia de excesso pela relação:
H^X = G^X + T S^X
Portanto, para o componente A:
HA^X = GA^X + T SA^X = a(1 - b T)(1 - c P) NB + T cdot a b (1 - c P) NB
Simplificando:
HA^X = a(1 - c P) NB [ (1 - b T) + b T ] = a(1 - c P) NB
O mesmo vale para o componente B:
HB^X = a(1 - c P) NA

Passo 8

Finalmente, vamos para o item iv) Volume parcial molar (assumindo T constante - para A e B). O Volume parcial molar de excesso de um componente é a derivada da Energia Livre de Gibbs de excesso parcial em relação à pressão, mantendo constante a temperatura e a quantidade dos componentes.
Como vamos assumir T constante, usamos:
Para o componente A:
VA^X = ( partial GA^Xpartial P )T,NB
E para o componente B:
VB^X = ( partial GB^Xpartial P )T,NA

Passo 9

Calculando VA^X:
VA^X = partialpartial P [ a(1 - b T)(1 - c P) NB ] = a(1 - b T)(-c) NB = -a c (1 - b T) NB
E para VB^X:
VB^X = partialpartial P [ a(1 - b T)(1 - c P) NA ] = a(1 - b T)(-c) NA = -a c (1 - b T) NA

Resposta

i) Energia Livre de Gibbs parcial de excesso:
GA^X = a(1 - b T)(1 - c P) NB
GB^X = a(1 - b T)(1 - c P) NA
ii) Entropia parcial de excesso:
SA^X = a b (1 - c P) NB
SB^X = a b (1 - c P) NA
iii) Entalpia parcial de excesso:
HA^X = a(1 - c P) NB
HB^X = a(1 - c P) NA
iv) Volume parcial molar (assumindo T constante):
VA^X = -a c (1 - b T) NB
VB^X = -a c (1 - b T) NA

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