Demonstre algebricamente as seguintes igualdades:
b) sumj=1^n(Xj-barX)^2=sum Xj^2-(sum Xj)^2n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente demonstrar uma igualdade algébrica envolvendo somas de quadrados. O assunto aqui é Estatística, mais especificamente sobre variância e medidas de dispersão. Para resolver isso, vamos precisar manipular expressões algébricas e entender como expandir termos ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que barX é a média dos valores Xj, ou seja, barX = 1nsumj=1^n Xj. Nosso objetivo é expandir a expressão sumj=1^n(Xj-barX)^2 e mostrar que ela é igual a sum Xj^2-(sum Xj)^2n.

Passo 3

Vamos começar expandindo o quadrado dentro da soma:
sumj=1^n(Xj-barX)^2 = sumj=1^n ( Xj^2 - 2XjbarX + barX^2 )
Aqui, usamos a fórmula do quadrado da diferença: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Passo 4

Agora, vamos separar a soma em três partes:
sumj=1^n Xj^2 - 2barXsumj=1^n Xj + sumj=1^n barX^2
Perceba que barX é constante em relação à soma, então podemos simplificar as últimas duas somas.

Passo 5

Como barX = 1nsumj=1^n Xj, multiplicando pela soma:
2barXsumj=1^n Xj = 2 cdot 1nsumj=1^n Xj cdot sumj=1^n Xj = 2n(sumj=1^n Xj)^2
E para a última soma:
sumj=1^n barX^2 = n cdot barX^2 = n cdot (1nsumj=1^n Xj)^2 = (sumj=1^n Xj)^2n

Passo 6

Substituindo essas simplificações na expressão original:
sumj=1^n(Xj-barX)^2 = sumj=1^n Xj^2 - 2n(sumj=1^n Xj)^2 + (sumj=1^n Xj)^2n
Simplificando os termos:
- 2n(sum Xj)^2 + 1n(sum Xj)^2 = -1n(sum Xj)^2

Passo 7

Portanto, chegamos à igualdade desejada:
sumj=1^n(Xj-barX)^2 = sum Xj^2 - (sum Xj)^2n

Resposta

Demonstramos que sumj=1^n(Xj-barX)^2 = sum Xj^2 - (sum Xj)^2n.

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