Demonstre algebricamente as seguintes igualdades:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente demonstrar uma igualdade algébrica envolvendo somas de quadrados. O assunto aqui é Estatística, mais especificamente sobre variância e medidas de dispersão. Para resolver isso, vamos precisar manipular expressões algébricas e entender como expandir termos ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a média dos valores
, ou seja,
. Nosso objetivo é expandir a expressão
e mostrar que ela é igual a
.
Passo 3
Vamos começar expandindo o quadrado dentro da soma:
Aqui, usamos a fórmula do quadrado da diferença:
.
Passo 4
Agora, vamos separar a soma em três partes:
Perceba que
é constante em relação à soma, então podemos simplificar as últimas duas somas.
Passo 5
Como
, multiplicando pela soma:
E para a última soma:
Passo 6
Substituindo essas simplificações na expressão original:
Simplificando os termos:
Passo 7
Portanto, chegamos à igualdade desejada:
Resposta
Demonstramos que
.