Demonstre por que o coeficiente de Poisson varia de 0 a
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que é o coeficiente de Poisson. Ele mede como um material se deforma na direção perpendicular à aplicação de uma força. Por exemplo, se você estica uma borracha, ela fica mais fina nas laterais. O coeficiente de Poisson (
) nos diz a relação entre essa deformação. Para mostrar por que
varia de 0 a 0,5, vamos precisar conhecer um pouco de mecânica dos materiais e considerar que o material é elástico e incompresível.
Passo 2
Primeiro, sabemos que quando um material é puxado (tensão longitudinal), ele tende a se contrair na direção perpendicular à força aplicada (contração lateral). O coeficiente de Poisson é definido como:
Aqui,
é a deformação na direção perpendicular e
é a deformação na direção da força.
Passo 3
Vamos analisar os limites do coeficiente de Poisson. Primeiro, considere
. Isso significa que, quando puxamos o material, ele não se contrai nenhuma coisa na direção perpendicular. Um exemplo idealizado seria um material que se estica sem mudar de largura.
Passo 4
Agora, considere o outro extremo,
. Esse valor ocorre para materiais incompresíveis, onde o volume permanece constante durante a deformação. Se puxarmos esse material, para manter o volume, a contração lateral será máxima permitida. Matemáticamente, isso acontece porque:
Resolvendo para
:
Passo 5
Portanto, combinando esses casos extremos, concluímos que o coeficiente de Poisson deve estar entre 0 e 0,5 para materiais elásticos comuns. Valores fora desse intervalo não são observados na prática para materiais sólidos estáveis.
Resposta
O coeficiente de Poisson (
) varia de 0 a 0,5 porque, em materiais elásticos, a contração lateral ao estiramento longitudinal está limitada entre nenhuma contração (
) e a contração máxima permitida para manter o volume constante (
).
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