Demonstre que a covariância é bilinear, isto é:
cov(sumi=1^m ai Xi, sumj=1^n bj Yj,)=sumi=1^m sumj=1^n ai bj cov(Xi, Yj)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me pediu é para mostrar que a covariância é bilinear. Isso significa que, quando temos somas de variáveis aleatórias multiplicadas por constantes, a covariância entre essas somas pode ser quebrada em uma soma dupla envolvendo as constantes e as covariâncias individuais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é covariância e como ela se comporta com somas e multiplicações por constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a covariância. A covariância entre duas variáveis aleatórias $ A $ e $ B $ é dada por:
A
Aqui, $ E[A] $ é a expectativa de $ A $, ou seja, a média de $ A $.

Passo 3

Agora, vamos considerar as somas dentro da covariância que queremos demonstrar. Temos:
cov(sumi=1^m ai Xi, sumj=1^n bj Yj)
Queremos mostrar que isso é igual a:
sumi=1^m sumj=1^n ai bj cov(Xi, Yj)

Passo 4

Vamos expandir a definição de covariância para as somas:
cov(sumi=1^m ai Xi, sumj=1^n bj Yj) = E[ (sumi=1^m ai Xi - E[sumi=1^m ai Xi]) (sumj=1^n bj Yj - E[sumj=1^n bj Yj]) ]

Passo 5

Simplificamos as expectativas, já que a expectativa de uma soma é a soma das expectativas:
E[sumi=1^m ai Xi] = sumi=1^m ai E[Xi]
E o mesmo vale para a segunda soma.

Passo 6

Então, a expressão fica:
E[ (sumi=1^m ai (Xi - E[Xi])) (sumj=1^n bj (Yj - E[Yj])) ]

Passo 7

Agora, vamos multiplicar as duas somas:
sumi=1^m sumj=1^n ai bj (Xi - E[Xi])(Yj - E[Yj])
E a expectativa dessa soma é a soma das expectativas, pois a expectativa é uma operação linear:
sumi=1^m sumj=1^n ai bj E[(Xi - E[Xi])(Yj - E[Yj])]

Passo 8

Reconhecemos que $ E[(X_{i} - E[X_{i}])(Y_{j} - E[Y_{j}]) $ é exatamente a definição de $ \operatorname{cov}(X_{i}, Y_{j}) $:
E[(Xi - E[Xi])(Yj - E[Yj])

Resposta

Portanto, demonstramos que:
cov(sumi=1^m ai Xi, sumj=1^n bj Yj) = sumi=1^m sumj=1^n ai bj cov(Xi, Yj)

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