Demonstre que a covariância é bilinear, isto é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você me pediu é para mostrar que a covariância é bilinear. Isso significa que, quando temos somas de variáveis aleatórias multiplicadas por constantes, a covariância entre essas somas pode ser quebrada em uma soma dupla envolvendo as constantes e as covariâncias individuais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é covariância e como ela se comporta com somas e multiplicações por constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a covariância. A covariância entre duas variáveis aleatórias $ A $ e $ B $ é dada por:
Aqui, $ E[A] $ é a expectativa de $ A $, ou seja, a média de $ A $.
Passo 3
Agora, vamos considerar as somas dentro da covariância que queremos demonstrar. Temos:
Queremos mostrar que isso é igual a:
Passo 4
Vamos expandir a definição de covariância para as somas:
Passo 5
Simplificamos as expectativas, já que a expectativa de uma soma é a soma das expectativas:
E o mesmo vale para a segunda soma.
Passo 6
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, vamos multiplicar as duas somas:
E a expectativa dessa soma é a soma das expectativas, pois a expectativa é uma operação linear:
Passo 8
Reconhecemos que $ E[(X_{i} - E[X_{i}])(Y_{j} - E[Y_{j}]) $ é exatamente a definição de $ \operatorname{cov}(X_{i}, Y_{j}) $:
Resposta
Portanto, demonstramos que: