Sendo
e
independentes com variâncias finitas e médias iguais, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes, têm variâncias finitas e médias iguais. Nosso objetivo é mostrar que a expectativa de $ (X - Y)^2 $ é igual à soma das variâncias de $ X $ e $ Y $, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de expectativa (valor esperado), variância e independência de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a expressão $ (X - Y)^2 $. Isso ajuda a simplificar o que precisamos calcular.
Passo 3
Agora, vamos tirar a expectativa de ambos os lados da equação. Lembre-se que a expectativa é uma operação linear, então podemos distribuir sobre a soma e a subtração:
Passo 4
Sabemos que a variância de uma variável aleatória é dada por:
Como as médias de $ X $ e $ Y $ são iguais, vamos chamar ambas de $ \mu $. Então:
Passo 5
Substituindo $ E[X^2] $ e $ E[Y^2] $ na equação da Passo 3:
Simplificando:
Passo 6
Como $ X $ e $ Y $ são independentes, a expectativa do produto é o produto das expectativas:
Passo 7
Substituindo $ E[XY] = \mu^2 $ na equação:
Os termos $ 2\mu^2 $ se cancelam:
Resposta
Portanto, mostramos que: