Sendo X e Y independentes com variâncias finitas e médias iguais, mostre que
E[(X-Y)^2]=var(X)+var(Y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas variáveis aleatórias, $ X $ e $ Y $, que são independentes, têm variâncias finitas e médias iguais. Nosso objetivo é mostrar que a expectativa de $ (X - Y)^2 $ é igual à soma das variâncias de $ X $ e $ Y $, ou seja:
X
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de expectativa (valor esperado), variância e independência de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão $ (X - Y)^2 $. Isso ajuda a simplificar o que precisamos calcular.
(X - Y)^2

Passo 3

Agora, vamos tirar a expectativa de ambos os lados da equação. Lembre-se que a expectativa é uma operação linear, então podemos distribuir sobre a soma e a subtração:
E[(X - Y)^2] = E[X^2] - 2E[XY] + E[Y^2]

Passo 4

Sabemos que a variância de uma variável aleatória é dada por:
var(X) = E[X^2] - (E[X])^2
Como as médias de $ X $ e $ Y $ são iguais, vamos chamar ambas de $ \mu $. Então:
X

Passo 5

Substituindo $ E[X^2] $ e $ E[Y^2] $ na equação da Passo 3:
E[X^2]
Simplificando:
E[Y^2]

Passo 6

Como $ X $ e $ Y $ são independentes, a expectativa do produto é o produto das expectativas:
X

Passo 7

Substituindo $ E[XY] = \mu^2 $ na equação:
E[XY] = mu^2
Os termos $ 2\mu^2 $ se cancelam:
E[(X - Y)^2] = var(X) + var(Y) + 2mu^2 - 2mu^2

Resposta

Portanto, mostramos que:
E[(X-Y)^2] = var(X) + var(Y)

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