Prove: se
assume apenas os valores
e
assume apenas os valores
e
, e se
e
são não correlacionadas, então elas são independentes.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de probabilidade aqui! A questão é: se a variável $ X $ só pode assumir os valores $ a $ e $ b $, e a variável $ Y $ só pode assumir os valores $ c $ e $ d $, e se $ X $ e $ Y $ não são correlacionadas (ou seja, têm covariância zero), então elas são independentes. Vamos usar conceitos de covariância e independência para provar isso. Precisamos lembrar como calcular covariância e entender o que significa que duas variáveis são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas variáveis são independentes. Duas variáveis $ X $ e $ Y $ são independentes se a probabilidade conjunta de qualquer par de valores delas for igual ao produto das probabilidades individuais. Matemáticamente, isso é:
para todos os valores possíveis de $ X $ e $ Y $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é covariância. A covariância entre $ X $ e $ Y $ é definida como:
Se $ Cov(X, Y) = 0 $, dizemos que $ X $ e $ Y $ são não correlacionadas.
Passo 4
Vamos calcular a covariância $ Cov(X, Y) $ para as variáveis que só assumem dois valores cada. Primeiro, precisamos encontrar $ E[X] $, $ E[Y] $, e $ E[XY] $.
Vamos supor que:
Passo 5
Calculando $ E[X] $ e $ E[Y] $:
Passo 6
Agora, calculando $ E[XY] $:
Passo 7
Sabemos que $ Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] $. Como $ Cov(X, Y) = 0 $, temos:
Isso significa que:
Passo 8
Vamos expandir o lado direito da equação:
Comparando com o $ E[XY] $, percebemos que as probabilidades conjuntas devem multiplicar as marginais:
Isso mostra que $ X $ e $ Y $ são independentes.
Resposta
Portanto, se $ X $ assume apenas os valores $ a $ e $ b $, $ Y $ assume apenas os valores $ c $ e $ d $, e $ X $ e $ Y $ são não correlacionadas ($ Cov(X, Y) = 0 $), então $ X $ e $ Y $ são independentes.