Prove: se X assume apenas os valores a e b, Y assume apenas os valores c e d, e se X e Y são não correlacionadas, então elas são independentes.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de probabilidade aqui! A questão é: se a variável $ X $ só pode assumir os valores $ a $ e $ b $, e a variável $ Y $ só pode assumir os valores $ c $ e $ d $, e se $ X $ e $ Y $ não são correlacionadas (ou seja, têm covariância zero), então elas são independentes. Vamos usar conceitos de covariância e independência para provar isso. Precisamos lembrar como calcular covariância e entender o que significa que duas variáveis são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas variáveis são independentes. Duas variáveis $ X $ e $ Y $ são independentes se a probabilidade conjunta de qualquer par de valores delas for igual ao produto das probabilidades individuais. Matemáticamente, isso é:
X
para todos os valores possíveis de $ X $ e $ Y $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é covariância. A covariância entre $ X $ e $ Y $ é definida como:
X
Se $ Cov(X, Y) = 0 $, dizemos que $ X $ e $ Y $ são não correlacionadas.

Passo 4

Vamos calcular a covariância $ Cov(X, Y) $ para as variáveis que só assumem dois valores cada. Primeiro, precisamos encontrar $ E[X] $, $ E[Y] $, e $ E[XY] $.
Vamos supor que:
Cov(X, Y)
E[X]

Passo 5

Calculando $ E[X] $ e $ E[Y] $:
E[X]
E[Y]

Passo 6

Agora, calculando $ E[XY] $:
E[XY]

Passo 7

Sabemos que $ Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] $. Como $ Cov(X, Y) = 0 $, temos:
Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]
Isso significa que:
Cov(X, Y) = 0

Passo 8

Vamos expandir o lado direito da equação:
(a p + b (1 - p))(c q + d (1 - q)) = a p c q + a p d (1 - q) + b (1 - p) c q + b (1 - p) d (1 - q)
Comparando com o $ E[XY] $, percebemos que as probabilidades conjuntas devem multiplicar as marginais:
E[XY]
Isso mostra que $ X $ e $ Y $ são independentes.

Resposta

Portanto, se $ X $ assume apenas os valores $ a $ e $ b $, $ Y $ assume apenas os valores $ c $ e $ d $, e $ X $ e $ Y $ são não correlacionadas ($ Cov(X, Y) = 0 $), então $ X $ e $ Y $ são independentes.

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