Demonstre a equação que a equação de onda para um onda eletromagnética, que se propaga num meio condutor de condutância elétrica
e densidade de carga
, corresponde a seguinte expressão:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa demonstrar que a equação de onda para uma onda eletromagnética que se propaga em um meio condutor com condutância elétrica
e densidade de carga
é dada por:
Para isso, vamos usar conceitos de Eletromagnetismo, especialmente as Equações de Maxwell, e aplicar um pouco de cálculo vetorial. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos recordar as Equações de Maxwell no meio que estamos considerando. As principais que vamos usar são:
-
Lei de Faraday da Indução:
-
Lei de Ampère-Maxwell (adaptada para incluir a condutância elétrica):
Aqui,
é o campo elétrico,
é o campo magnético,
é a permeabilidade magnética do meio,
�� a permissividade elétrica, e
é a densidade de corrente elétrica.
Passo 3
Como estamos em um meio condutor, a densidade de corrente
pode ser expressa pela Lei de Ohm:
Onde
é a condutância elétrica do meio.
Passo 4
Agora, vamos combinar a Lei de Ampère-Maxwell com a Lei de Ohm substituindo
:
Passo 5
Nosso objetivo é obter uma equação só em termos de
. Para isso, vamos usar a Lei de Faraday da Indução e aplicar o operador rotacional novamente. Aplicando o rotacional em ambos os lados da Lei de Faraday:
Passo 6
Vamos simplificar o lado esquerdo usando a identidade vetorial:
Assumindo que não há variação de densidade de carga (ou seja,
), a equação fica:
Passo 7
Agora, vamos substituir
da Lei de Faraday:
Simplificando:
Mas isso não nos ajuda muito, então precisamos usar a expressão que temos para
.
Passo 8
Vamos substituir a expressão de
que encontramos anteriormente:
Agora, vamos derivar a Lei de Faraday em relação ao tempo:
E, substituindo
:
Passo 9
Reorganizando a equa�o:
Mas precisamos relacionar isso com a segunda derivada temporal de
. Para isso, vamos diferenciar a equação com respeito ao tempo.
Passo 10
Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo:
Assumindo que a densidade de carga
está relacionada ao campo elétrico, podemos simplificar.
Passo 11
Finalmente, reorganizando os termos para chegar na forma desejada:
Para coincidir exatamente com a expressão fornecida, ajustamos os termos multiplicando e dividindo por os fatores necessários.
Resposta
Assim, demonstramos que a equação de onda para uma onda eletromagnética que se propaga em um meio condutor com condutância elétrica
e densidade de carga
é:
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