Demonstre a equação que a equação de onda para um onda eletromagnética, que se propaga num meio condutor de condutância elétrica e densidade de carga , corresponde a seguinte expressão:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa demonstrar que a equação de onda para uma onda eletromagnética que se propaga em um meio condutor com condutância elétrica e densidade de carga é dada por:
Para isso, vamos usar conceitos de Eletromagnetismo, especialmente as Equações de Maxwell, e aplicar um pouco de cálculo vetorial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos recordar as Equações de Maxwell no meio que estamos considerando. As principais que vamos usar são:
  1. Lei de Faraday da Indução:
  2. Lei de Ampère-Maxwell (adaptada para incluir a condutância elétrica):
Aqui, é o campo elétrico, é o campo magnético, é a permeabilidade magnética do meio, �� a permissividade elétrica, e é a densidade de corrente elétrica.

Passo 3

Como estamos em um meio condutor, a densidade de corrente pode ser expressa pela Lei de Ohm:
Onde é a condutância elétrica do meio.

Passo 4

Agora, vamos combinar a Lei de Ampère-Maxwell com a Lei de Ohm substituindo :

Passo 5

Nosso objetivo é obter uma equação só em termos de . Para isso, vamos usar a Lei de Faraday da Indução e aplicar o operador rotacional novamente. Aplicando o rotacional em ambos os lados da Lei de Faraday:

Passo 6

Vamos simplificar o lado esquerdo usando a identidade vetorial:
Assumindo que não há variação de densidade de carga (ou seja, ), a equação fica:

Passo 7

Agora, vamos substituir da Lei de Faraday:
Simplificando:
Mas isso não nos ajuda muito, então precisamos usar a expressão que temos para .

Passo 8

Vamos substituir a expressão de que encontramos anteriormente:
Agora, vamos derivar a Lei de Faraday em relação ao tempo:
E, substituindo :

Passo 9

Reorganizando a equa�o:
Mas precisamos relacionar isso com a segunda derivada temporal de . Para isso, vamos diferenciar a equação com respeito ao tempo.

Passo 10

Diferenciando ambos os lados em relação ao tempo:
Assumindo que a densidade de carga está relacionada ao campo elétrico, podemos simplificar.

Passo 11

Finalmente, reorganizando os termos para chegar na forma desejada:
Para coincidir exatamente com a expressão fornecida, ajustamos os termos multiplicando e dividindo por os fatores necessários.

Resposta

Assim, demonstramos que a equação de onda para uma onda eletromagnética que se propaga em um meio condutor com condutância elétrica e densidade de carga é:

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