Desenvolva os cálculos do processo da lei de Ampére para o formato corrigido desta lei, a qual ficou conhecida como lei de Ampére-Maxwell.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre a Lei de Ampère-Maxwell, que é uma versão atualizada da Lei de Ampère incorporando a correção de Maxwell. Esse tema faz parte do estudo de Eletromagnetismo, especificamente relacionado aos campos magnéticos e às correntes elétricas. Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Ampère original, o conceito de corrente de deslocamento introduzido por Maxwell e como aplicar essas ideias em cálculos práticos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Ampère. Ela relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente elétrica que passa por esse caminho. Matematicamente, é expressa por:
Aqui,
é a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado,
é a permeabilidade magnética do vácuo, e
é a corrente elétrica total que passa pelo caminho.
Passo 3
No entanto, havia um problema com essa lei quando Maxwell percebeu que ela não era consistente em todas as situações, especialmente quando se tratava de capacitores. Durante o carregamento de um capacitor, há uma variação do campo elétrico, mas aparentemente não há uma corrente física atravessando o dielétrico. Para corrigir isso, Maxwell introduziu a corrente de deslocamento, que leva em conta a variação do campo elétrico.
A Lei de Ampère-Maxwell fica assim:
Onde
é a permissividade elétrica do vácuo e
é a taxa de variação do fluxo elétrico.
Passo 4
Vamos aplicar isso em um exemplo clássico: calcular o campo magnético ao redor de um cabo que alimenta um capacitor que está sendo carregado. Suponha que a corrente que flui no cabo seja
. Mesmo que não haja corrente física no espaço entre as placas do capacitor, a variação do campo elétrico cria uma “corrente de deslocamento” que contribui para o campo magnético.
Passo 5
Calculemos a corrente de deslocamento. O fluxo elétrico
através de uma superfície é dado por:
A taxa de variação desse fluxo é:
Onde
é a área das placas do capacitor e
é o campo elétrico entre elas.
Passo 6
A corrente de deslocamento é então:
Passo 7
Agora, aplicando a Lei de Ampère-Maxwell:
Se escolhermos um caminho circular ao redor do cabo com raio
, o campo magnético
será constante ao longo do caminho e tangente a ele, então a integral fica:
Passo 8
Desse modo, isolamos o campo magnético
:
Resposta
O campo magnético ao redor do cabo é dado por:
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