Desenvolva os cálculos do processo da lei de Ampére para o formato corrigido desta lei, a qual ficou conhecida como lei de Ampére-Maxwell.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre a Lei de Ampère-Maxwell, que é uma versão atualizada da Lei de Ampère incorporando a correção de Maxwell. Esse tema faz parte do estudo de Eletromagnetismo, especificamente relacionado aos campos magnéticos e às correntes elétricas. Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Ampère original, o conceito de corrente de deslocamento introduzido por Maxwell e como aplicar essas ideias em cálculos práticos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Ampère. Ela relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente elétrica que passa por esse caminho. Matematicamente, é expressa por:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Aqui, oint B cdot dl é a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado, mu0 é a permeabilidade magnética do vácuo, e Ienc é a corrente elétrica total que passa pelo caminho.

Passo 3

No entanto, havia um problema com essa lei quando Maxwell percebeu que ela não era consistente em todas as situações, especialmente quando se tratava de capacitores. Durante o carregamento de um capacitor, há uma variação do campo elétrico, mas aparentemente não há uma corrente física atravessando o dielétrico. Para corrigir isso, Maxwell introduziu a corrente de deslocamento, que leva em conta a variação do campo elétrico.
A Lei de Ampère-Maxwell fica assim:
oint B cdot dl = mu0 ( Ienc + epsilon0 dPhiEdt )
Onde epsilon0 é a permissividade elétrica do vácuo e dPhiEdt é a taxa de variação do fluxo elétrico.

Passo 4

Vamos aplicar isso em um exemplo clássico: calcular o campo magnético ao redor de um cabo que alimenta um capacitor que está sendo carregado. Suponha que a corrente que flui no cabo seja I. Mesmo que não haja corrente física no espaço entre as placas do capacitor, a variação do campo elétrico cria uma “corrente de deslocamento” que contribui para o campo magnético.

Passo 5

Calculemos a corrente de deslocamento. O fluxo elétrico PhiE através de uma superfície é dado por:
PhiE = integral E cdot dA
A taxa de variação desse fluxo é:
dPhiEdt = ddt ( E cdot A ) = A dEdt
Onde A é a área das placas do capacitor e E é o campo elétrico entre elas.

Passo 6

A corrente de deslocamento é então:
ID = epsilon0 dPhiEdt = epsilon0 A dEdt

Passo 7

Agora, aplicando a Lei de Ampère-Maxwell:
oint B cdot dl = mu0 (I + ID) = mu0 ( I + epsilon0 A dEdt )
Se escolhermos um caminho circular ao redor do cabo com raio r, o campo magnético B será constante ao longo do caminho e tangente a ele, então a integral fica:
B cdot 2pi r = mu0 ( I + epsilon0 A dEdt )

Passo 8

Desse modo, isolamos o campo magnético B:
B = mu02pi r ( I + epsilon0 A dEdt )

Resposta

O campo magnético ao redor do cabo é dado por:
B = mu02pi r ( I + epsilon0 A dEdt )

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