Demonstre matematicamente por que a distribuição de carga no condutor do procedimento F não é homogênea, indicando onde sua concentração é maior ou menor. Sugestão: Suponha que o objeto oval é formado por duas esferas (uma de raio maior e outra de raio menor) no mesmo potencial (um condutor é uma superfície equipotencial). Considere que o potencial
para uma esfera é proporcional à carga
e inversamente proporcional ao raio da esfera
) e também que a densidade superficial de carga
é a razão entre a carga q e a área da esfera
. Analise as esferas independentemente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de distribuição de carga em condutores. O problema pede para mostrar por que a carga não se distribui de maneira igual em todo o condutor, usando duas esferas de tamanhos diferentes que estão no mesmo potencial. Vamos precisar entender como o potencial, a carga e o raio das esferas estão relacionados, além de calcular a densidade superficial de carga.
Passo 2
Primeiro, sabemos que o potencial
de uma esfera é proporcional à carga
e inversamente proporcional ao seu raio
. Matematicamente, isso fica assim:
Como as duas esferas estão no mesmo potencial, podemos igualar essas expressões para cada esfera.
Passo 3
Vamos chamar o raio da esfera maior de
e sua carga de
, e o raio da esfera menor de
com carga
. Igualando os potenciais:
Isso significa que:
Então, a carga na esfera maior é maior proporcionalmente ao seu raio.
Passo 4
Agora, vamos calcular a densidade superficial de carga
, que é a carga dividida pela área da esfera. A área de uma esfera é
, então:
Substituindo
da equação anterior:
Comparando com
:
Passo 5
Vamos comparar
e
:
Isso mostra que:
Como
, então
. Ou seja, a densidade de carga na esfera maior é menor que na esfera menor.
Resposta
A distribuição de carga no condutor não é homogênea porque a densidade superficial de carga é menor na esfera de raio maior e maior na esfera de raio menor. Portanto, a carga se concentra mais na esfera menor e menos na esfera maior.
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