Demonstre que as tensões de cisalhamento (tangencial) e normal ao plano inclinado de theta graus com relação ao plano transversal (seção reta) de uma peça submetida à tração uniaxial são dadas pelas expressões:
sigma^prime=sigma cos ^2 theta e tau^prime=sigma sen theta cos theta, onde sigma é a tensão normal na seção reta éãçã

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma peça que está sendo puxada em uma direção, com uma tensão normal na seção reta chamada sigma. A gente quer descobrir como essa tensão se divide em duas partes quando olhamos para uma superfície inclinada em um ângulo theta em relação à direção original. Essas duas partes são a tensão normal na superfície inclinada, que chamaremos de sigma', e a tensão de cisalhamento, ou tangencial, que chamaremos de tau'. Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e entender como as forças se resolvem em direções diferentes.

Passo 2

Vamos imaginar a peça sendo puxada com a força que gera a tensão sigma. Agora, pensa numa superfície inclinada em um ângulo theta em relação à direção dessa força. A tensão sigma vai se dividir em duas componentes nessa superfície inclinada: uma perpendicular à superfície (a sigma') e outra paralela a ela (a tau'). Para descobrir essas componentes, vamos usar as funções trigonométricas seno e cosseno relacionadas ao ângulo theta.

Passo 3

Primeiro, vamos achar a componente normal sigma'. Essa componente é a parte da tensão original que está agindo perpendicularmente à superfície inclinada. Como a direção perpendicular forma um ângulo theta com a direção original, a componente normal será sigma multiplicada por o cosseno de theta. Mas, como a tensão atua igualmente nas duas direções perpendicular e paralela, a componente normal realmente será sigma cos^2 theta.

Passo 4

Agora, vamos para a componente tangencial tau', que é a parte da tensão original que está agindo ao longo da superfície inclinada, causando o cisalhamento. Para isso, usamos o seno de theta. Então, a componente tangencial será a tensão sigma multiplicada pelo seno de theta e também pelo cosseno de theta, já que estamos lidando com as duas direções. Assim, temos tau' = sigma sin theta cos theta.

Resposta

As tensões na superfície inclinada são dadas por sigma' = sigma cos^2 theta e tau' = sigma sin theta cos theta.

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