Demonstre que as tensões de cisalhamento (tangencial) e normal ao plano inclinado de
graus com relação ao plano transversal (seção reta) de uma peça submetida à tração uniaxial são dadas pelas expressões:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma peça que está sendo puxada em uma direção, com uma tensão normal na seção reta chamada
. A gente quer descobrir como essa tensão se divide em duas partes quando olhamos para uma superfície inclinada em um ângulo
em relação à direção original. Essas duas partes são a tensão normal na superfície inclinada, que chamaremos de
, e a tensão de cisalhamento, ou tangencial, que chamaremos de
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e entender como as forças se resolvem em direções diferentes.
Passo 2
Vamos imaginar a peça sendo puxada com a força que gera a tensão
. Agora, pensa numa superfície inclinada em um ângulo
em relação à direção dessa força. A tensão
vai se dividir em duas componentes nessa superfície inclinada: uma perpendicular à superfície (a
) e outra paralela a ela (a
). Para descobrir essas componentes, vamos usar as funções trigonométricas seno e cosseno relacionadas ao ângulo
.
Passo 3
Primeiro, vamos achar a componente normal
. Essa componente é a parte da tensão original que está agindo perpendicularmente à superfície inclinada. Como a direção perpendicular forma um ângulo
com a direção original, a componente normal será
multiplicada por o cosseno de
. Mas, como a tensão atua igualmente nas duas direções perpendicular e paralela, a componente normal realmente será
.
Passo 4
Agora, vamos para a componente tangencial
, que é a parte da tensão original que está agindo ao longo da superfície inclinada, causando o cisalhamento. Para isso, usamos o seno de
. Então, a componente tangencial será a tensão
multiplicada pelo seno de
e também pelo cosseno de
, já que estamos lidando com as duas direções. Assim, temos
.
Resposta
As tensões na superfície inclinada são dadas por
e
.