Demonstre usando indução: para todo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar, usando indução matemática, que para todo número natural
, a multiplicação
é menor ou igual a
. Vamos usar a técnica de indução matemática, que é uma maneira de provar afirmações para todos os números naturais começando de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso base, ou seja, quando
.
Calculando
:
E
.
Então,
, o que confirma que a afirmação é válida para
.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para algum número natural
, ou seja, vamos assumir a hipótese de indução:
Essa suposição nos ajudará a provar que a afirmação também é verdadeira para
.
Passo 4
Vamos provar que se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
.
Calculando
:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então:
Ou seja:
Isso mostra que se a afirmação é verdadeira para
, então também é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, demonstramos que para todo
, a expressão
é de fato menor ou igual a
.
Exercícios relacionados
Prove usando indução que todo número natural não-nulo pode ser expresso como soma de potências inteiras e não negativas distintas de 2 .
Demonstre usando indução: para todo
.
Demonstre usando indução: para todo
, Se
são números reais então
Demonstre usando indução: para todo
.