Demonstre usando indução: para todo n ≥ 3, (n+1)ⁿ < nⁿ⁺¹.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando indução matemática, que para todo número inteiro , a inequação é verdadeira. Vamos trabalhar com o conteúdo de indução matemática, que é uma técnica para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os inteiros a partir de um certo ponto. Para resolver isso, vamos precisar verificar o caso base e depois assumir que a afirmação é verdadeira para um e provar que ela também vale para .

Passo 2

Caso Base: Primeiro, vamos verificar se a inequação é verdadeira para .
Calculando os dois lados:
E de fato, . Então, o caso base está confirmado.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Isso significa que devemos provar que:

Passo 5

Vamos manipular o lado esquerdo da inequação que queremos provar:
E comparar com o lado direito:

Passo 6

Usando a hipótese de indução , podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, queremos mostrar que .
Dividindo ambos os lados por :
O que não é verdadeiro, então precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 8

Na verdade, vamos considerar a razão entre os dois lados:
Sabemos que é aproximadamente quando é grande, e será menor que 1 para , o que garante que .

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo , é verdadeiro.

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