Demonstre usando indução: para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar, usando indução matemática, que para todo número inteiro
, a inequação
é verdadeira. Vamos trabalhar com o conteúdo de indução matemática, que é uma técnica para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os inteiros a partir de um certo ponto. Para resolver isso, vamos precisar verificar o caso base e depois assumir que a afirmação é verdadeira para um
e provar que ela também vale para
.
Passo 2
Caso Base: Primeiro, vamos verificar se a inequação é verdadeira para
.
Calculando os dois lados:
E de fato,
. Então, o caso base está confirmado.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Isso significa que devemos provar que:
Passo 5
Vamos manipular o lado esquerdo da inequação que queremos provar:
E comparar com o lado direito:
Passo 6
Usando a hipótese de indução
, podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, queremos mostrar que
.
Dividindo ambos os lados por
:
O que não é verdadeiro, então precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 8
Na verdade, vamos considerar a razão entre os dois lados:
Sabemos que
é aproximadamente
quando
é grande, e
será menor que 1 para
, o que garante que
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo
,
é verdadeiro.
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, Se
são números reais então
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,
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pontos distintos sobre um círculo são conectados consecutivamente com segmentos de reta, então a soma dos ângulos internos do polígono resultante é (
2)
.