A densidade de carga em uma certa região do espaço é esfericamente simétrica e é dada por
para
e
para
. Determine o valor do campo elétrico em função de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição de carga com densidade de carga
para
e
para
. A simetria é esfericamente simétrica, ou seja, a distribuição de carga é a mesma em todas as direções a partir do centro. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico
em função de
.
Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico a uma distribuição de carga com simetria adequada. Precisamos conhecer a teoria básica da Lei de Gauss e como aplicá-la a distribuições de carga esfericamente simétricas.
Passo 2
A Lei de Gauss nos diz que:
onde
é o campo elétrico,
é um elemento de área na superfície gaussiana,
é a carga total dentro da superfície gaussiana, e
é a permissividade do vácuo.
Como a distribuição de carga é esfericamente simétrica, podemos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio
. Dessa forma, o campo elétrico
terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será radial.
Passo 3
Vamos calcular o fluxo elétrico através da superfície gaussiana. Como
é radial e constante em magnitude na superfície:
Agora, precisamos encontrar
, a carga total dentro da esfera de raio
.
Passo 4
A carga total
é a integral da densidade de carga sobre o volume dentro da esfera de raio
:
Substituindo a expressão de
:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição
, então
, e os limites de integração se tornam de
a
:
A integral de
de
a
é:
Portanto:
Passo 6
Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
Substituindo
:
Resposta
O campo elétrico em função de
é dado por: