A densidade de carga em uma certa região do espaço é esfericamente simétrica e é dada por o(r)=C exp (-r / a) para r e rho=0 para r>R. Determine o valor do campo elétrico em função de r.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição de carga com densidade de carga rho(r) = C exp(-r/a) para r < R e rho = 0 para r > R. A simetria é esfericamente simétrica, ou seja, a distribuição de carga é a mesma em todas as direções a partir do centro. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico E(r) em função de r.
Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico a uma distribuição de carga com simetria adequada. Precisamos conhecer a teoria básica da Lei de Gauss e como aplicá-la a distribuições de carga esfericamente simétricas.

Passo 2

A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
onde E é o campo elétrico, dA é um elemento de área na superfície gaussiana, Qinterno é a carga total dentro da superfície gaussiana, e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.
Como a distribuição de carga é esfericamente simétrica, podemos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio r. Dessa forma, o campo elétrico E terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será radial.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo elétrico através da superfície gaussiana. Como E é radial e constante em magnitude na superfície:
oint E cdot dA = E(r) cdot 4pi r^2
Agora, precisamos encontrar Qinterno, a carga total dentro da esfera de raio r.

Passo 4

A carga total Qinterno é a integral da densidade de carga sobre o volume dentro da esfera de raio r:
Qinterno = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr'
Substituindo a expressão de rho(r'):
Qinterno = integral0^r C exp(-r'a) cdot 4pi r'^2 dr'

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Qinterno = 4pi C integral0^r r'^2 exp(-r'a) dr'
Para resolver essa integral, podemos usar a substituição u = r'a, então dr' = a du, e os limites de integração se tornam de 0 a ra:
Qinterno = 4pi C a^3 integral0^ra u^2 e^-u du
A integral de u^2 e^-u de 0 a x é:
integral0^x u^2 e^-u du = 2 - e^-x(2 + 2x + x^2)
Portanto:
Qinterno = 4pi C a^3 [2 - e^-ra(2 + 2ra + (ra)^2)]

Passo 6

Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qinternovarepsilon0
Substituindo Qinterno:
E(r) = Qinterno4pi varepsilon0 r^2 = C a^3varepsilon0 r^2 [2 - e^-ra(2 + 2ra + (ra)^2)]

Resposta

O campo elétrico em função de r é dado por:
E(r) = C a^3varepsilon0 r^2 [2 - e^-ra(2 + 2ra + (ra)^2)] para r < R

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