A densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua
é dada por:
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua
, dada por:
Nosso objetivo é calcular o valor esperado de
, representado por
. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e integrais.
Passo 2
Primeiramente, vamos lembrar que o valor esperado de uma função qualquer de
, digamos
, para uma variável contínua é calculado pela integral de
vezes a função de densidade
sobre todo o intervalo onde
é não nula. Ou seja:
No nosso caso,
, então temos:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral:
A integral de
é:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O valor esperado
é
.