A densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por:
f(t)=rr3 x^2, & se 0 <= x <= 1 & 0, cc
Calcule E(X^2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua X, dada por:
f(x) = 3x^2, & se 0 <= x <= 1 0, & caso contrário á
Nosso objetivo é calcular o valor esperado de X^2, representado por E(X^2). Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e integrais.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar que o valor esperado de uma função qualquer de X, digamos g(X), para uma variável contínua é calculado pela integral de g(x) vezes a função de densidade f(x) sobre todo o intervalo onde f(x) é não nula. Ou seja:
E[g(X)] = integral-infty^infty g(x) f(x) , dx
No nosso caso, g(X) = X^2, então temos:
E(X^2) = integral0^1 x^2 cdot 3x^2 , dx

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x^2 cdot 3x^2 = 3x^4
Então, a integral fica:
E(X^2) = integral0^1 3x^4 , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^1 3x^4 , dx = 3 integral0^1 x^4 , dx
A integral de x^4 é:
integral x^4 , dx = x^55
Aplicando os limites de integração:
3 [ x^55 ]0^1 = 3 ( 1^55 - 0^55 ) = 3 ( 15 ) = 35

Resposta

O valor esperado E(X^2) é dfrac35.

Exercícios relacionados