Dentre os carros que mais desvalorizam, os carros de luxo são os que mais sofrem depreciação. Na compra de um carro de luxo no valor de R$ 120.000,00, o consumidor sabe que o modelo adquirido sofre uma desvalorização de 10% ao ano, isto é, o carro tem, a cada instante, um valor menor do que o valor que tinha um ano antes. Para que o carro perca 70% do seu valor inicial, é necessário que se passe entre:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um carro de luxo que custa R$ 120.000,00 e ele perde 10% do valor todo ano. Queremos saber em quanto tempo o carro vai perder 70% do valor inicial. Isso envolve conceitos de depreciação e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quanto é 70% do valor inicial do carro:
70% de R$ 120.000,00 = 0,70 times 120.000 = R$ 84.000,00
Então, queremos descobrir em quanto tempo o carro vai valer R$ 120.000,00 - R$ 84.000,00 = R$ 36.000,00.

Passo 3

A desvalorização de 10% ao ano significa que, a cada ano, o carro fica valendo 90% do valor que valia no ano anterior. Matemáticamente, isso é representado por:
V = V0 times (1 - r)^n
Onde:
- $ V $ é o valor após $ n $ anos,
- $ V_0 $ é o valor inicial,
- $ r $ é a taxa de depreciação (10% ou 0,10),
- $ n $ é o número de anos.

Passo 4

Substituindo os valores que já sabemos:
36.000 = 120.000 times (0,90)^n
Vamos resolver essa equação para encontrar $ n $.

Passo 5

Primeiro, dividimos os dois lados por 120.000 para isolar o termo com $ n $:
n
36.000120.000 = (0,90)^n

Passo 6

Agora, para resolver para $ n $, vamos usar logaritmos. Lembrando que se $ a^n = b $, então $ n = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} $:
n

Passo 7

Vamos calcular os logaritmos:
ln(0,30) approx -1,203972804
ln(0,90) approx -0,105360516
Então:
n approx -1,203972804-0,105360516
n approx 11,429

Resposta

Portanto, são necessários aproximadamente 11,4 anos para que o carro perca 70% do seu valor inicial.

Exercícios relacionados