Dentre os carros que mais desvalorizam, os carros de luxo são os que mais sofrem depreciação. Na compra de um carro de luxo no valor de R$ 120.000,00, o consumidor sabe que o modelo adquirido sofre uma desvalorização de 10% ao ano, isto é, o carro tem, a cada instante, um valor menor do que o valor que tinha um ano antes. Para que o carro perca 70% do seu valor inicial, é necessário que se passe entre:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um carro de luxo que custa R$ 120.000,00 e ele perde 10% do valor todo ano. Queremos saber em quanto tempo o carro vai perder 70% do valor inicial. Isso envolve conceitos de depreciação e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quanto é 70% do valor inicial do carro:
Então, queremos descobrir em quanto tempo o carro vai valer R$ 120.000,00 - R$ 84.000,00 = R$ 36.000,00.
Passo 3
A desvalorização de 10% ao ano significa que, a cada ano, o carro fica valendo 90% do valor que valia no ano anterior. Matemáticamente, isso é representado por:
Onde:
- $ V $ é o valor após $ n $ anos,
- $ V_0 $ é o valor inicial,
- $ r $ é a taxa de depreciação (10% ou 0,10),
- $ n $ é o número de anos.
Passo 4
Substituindo os valores que já sabemos:
Vamos resolver essa equação para encontrar $ n $.
Passo 5
Primeiro, dividimos os dois lados por 120.000 para isolar o termo com $ n $:
Passo 6
Agora, para resolver para $ n $, vamos usar logaritmos. Lembrando que se $ a^n = b $, então $ n = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} $:
Passo 7
Vamos calcular os logaritmos:
Então:
Resposta
Portanto, são necessários aproximadamente 11,4 anos para que o carro perca 70% do seu valor inicial.