DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA

Transferência de Calor

1^circ ) Um chip, que possui L=3 mm de lado e espessura t=1 mm, é encaixado em um substrato cerâmico. Sua superfície exposta é resfriada por convecção por um líquido iônico com h=140 W /(m^2 K) e Tinfty=20 ^circ C. Quando desligado, o chip encontra-se em equilíbrio térmico com o líquido iônico. Contudo, quando o chip é energizado, sua temperatura aumenta até que uma nova condição de regime estacionário seja alcançada. Na análise a seguir, o chip energizado é caracterizado por um aquecimento volumétrico uniforme com &=9 times 10^6 W / m^3. Suponha uma resistência de contato entre o chip e o substrato infinita, determina a temperatura do chip no regime estacionário. Após a ativação do chip, quanto tempo ele leva para atingir uma temperatura de 1^circ C inferior a temperatura do regime estacionário? A densidade e o calor específico do chip são rho=1500 kg / m^3 e c =6 5 0 J /(kg K), respectivamente.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Então, temos um exercício de Transferência de Calor envolvendo um chip eletrónico. O chip tem dimensões de 3 mm de lado e 1 mm de espessura, e está colocado sobre um substrato cerâmico. Quando o chip é energizado, ele gera calor de forma uniforme, e precisamos determinar a temperatura que ele alcança em regime estacionário (quando a temperatura para de aumentar) e também quanto tempo leva para atingir uma temperatura que está 1°C abaixo desse valor final.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de convecção térmica para encontrar a temperatura estacionária e transferência de calor transitória (ou seja, como a temperatura muda com o tempo) para calcular o tempo necessário para atingir a temperatura desejada. Além disso, vamos considerar propriedades físicas como densidade e calor específico do material do chip.

Passo 2

Encontrando a Temperatura em Regime Estacionário
No regime estacionário, a quantidade de calor gerada pelo chip é igual à quantidade de calor perdida por convecção para o líquido iônico. Vamos calcular isso.
Primeiro, vamos calcular o volume do chip:
V = L times L times t = (3 times 10^-3, m) times (3 times 10^-3, m) times (1 times 10^-3, m) = 9 times 10^-9, m^3
A taxa de geração de calor é dada por Q>=rado = q''' times V = 9 times 10^6, W/m^3 times 9 times 10^-9, m^3 = 0,081, W . Então, o calor total gerado por segundo é:
A = 2 times (L times L) = 2 times (3 times 10^-3, m times 3 times 10^-3, m) = 1,8 times 10^-5, m^2
A área de superfície através da qual o calor é perdido por convecção é a área das duas faces superiores e inferiores do chip (já que as laterais estão em contato com o substrato cerâmico com resistência de contato infinita, ou seja, não há troca de calor por essas faces):
Qperdido = h times A times (Tss - Tinfty)
A transferência de calor por convecção é dada por:
0,081, W = 140, W/m^2cdotK times 1,8 times 10^-5, m^2 times (Tss - 20)
Onde:
  • é o coeficiente de convecção,
  • é a temperatura do líquido iônico,
  • é a temperatura estacionária do chip que queremos encontrar.
Igualando o calor gerado ao calor perdido:

Passo 3

Calculando a Temperatura em Regime Estacionário
Vamos resolver a equação para 0,081 = 140 times 1,8 times 10^-5 times (Tss - 20) :
140 times 1,8 times 10^-5 = 0,00252, W/K
Primeiro, multiplicamos os valores:
Tss - 20 = 0,0810,00252 = 32,14285714
Agora, isolamos Tss = 20 + 32,14285714 approx 52,14^circC :
Finalmente, encontramos :
Então, a temperatura estacionária do chip é aproximadamente 52,14°C.

Passo 4

Calculando o Tempo para Alcançar 1°C Inferior à Temperatura Estacionária
Agora, queremos saber quanto tempo o chip leva para atingir uma temperatura que está 1°C abaixo da temperatura estacionária, ou seja, T(t) - Tss = (T0 - Tss) times e^-t/tau .
Para isso, vamos usar o modelo de capacitância lumped (assumindo que a temperatura é uniformemente distribuída no chip, o que é válido se o número de Biot for pequeno). A fórmula para a variação da temperatura com o tempo é:
tau = rho times V times ch times A
Onde:
  • tau = 1500 times 9 times 10^-9 times 650140 times 1,8 times 10^-5 é a temperatura inicial do chip. Vamos assumir que, inicialmente, o chip está em equilíbrio térmico com o líquido, ou seja, 1500 times 9 times 10^-9 = 1,35 times 10^-5, kg/m^3 .
  • 1,35 times 10^-5 times 650 = 8,775 times 10^-3, J/K é a constante de tempo, dada por:
140 times 1,8 times 10^-5 = 2,52 times 10^-3, W/K
Vamos calcular tau = 8,775 times 10^-32,52 times 10^-3 approx 3,48, segundos .
Dados:
  • T(t) - 52,14 = (20 - 52,14) times e^-t/3,48 ,
  • -1 = -32,14 times e^-t/3,48 ,
  • 132,14 = e^-t/3,48 ,
  • ln(132,14) = -t3,48 ,
  • t = -3,48 times ln(132,14) .
Calculando t = 3,48 times ln(32,14) approx 3,48 times 3,468 = 12,06, segundos :
Primeiro, multiplicamos o numerador:
Agora, o denominador:
Então,
Agora, usando a equação da temperatura:

Resposta

A temperatura do chip no regime estacionário é aproximadamente 52,14 °C e leva cerca de 12,06 segundos para atingir uma temperatura 1 °C inferior a esse valor.

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