2^circ ) Considere a transferência de calor em uma placa quadrada bidimensional, 0 e 0, de condutividade térmica constante, k, com condições de contorno adiabáticas em duas faces ( x=0 e y=0 ), de terceiro tipo em outra face ( y=L, com coeficiente de convecção h ) e de primeiro tipo na última face (x=L). Além disso, o meio gera uma taxa volumétrica de calor proporcional à diferença de temperatura
& partial^2 Tpartial x^2+partial^2 Tpartial y^2+g(T-Tinfty)=0 & partial T(0, y)partial x=0 & partial T(x, 0)partial y=0 & T(L, y)=T1 & -k partial T(x, L)partial y=h(T(x, L)-Tinfty)
a) Quais os números adimensionais existentes neste problema.
b) Desprezando a geração de calor. Qual a distribuição de temperatura na placa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema de transferência de calor na placa quadrada. A gente tem uma placa bidimensional com lados de comprimento , condutividade térmica constante , e diferentes condições de contorno: duas adiabáticas, uma de terceiro tipo com coeficiente de convecção , e uma de primeiro tipo. Além disso, o meio está gerando calor proporcional à diferença de temperatura. Para resolver, vamos precisar entender sobre números adimensionais e resolver equações diferenciais parciais de transferência de calor.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): identificar os números adimensionais presentes no problema. Números adimensionais são combinações de variáveis físicas que não têm unidades, ajudando a simplificar e generalizar as equações.

Passo 3

Primeiro, temos o número de Biot ( Bi = hLk ). Ele relaciona a resistência de condução interna da placa com a resistência de convecção na superfície. A fórmula é:
Onde é o coeficiente de convecção, é o comprimento característico, e é a condutividade térmica.

Passo 4

Outro número importante é o número de Fourier ( ), que relaciona a difusão de calor ao tempo. No caso estacionário, que é o nosso, o não aparece diretamente, mas é útil para entender processos transitórios.

Passo 5

Também temos o número de Grashof ( ) se considerarmos convecção natural, mas como estamos lidando com condições impuestas, ele não é diretamente relevante aqui. Contudo, é bom estar ciente dele.

Passo 6

Além disso, o termo na equação fornecida tem dimensões de . Quando fazemos a adimensionalização, esse termo contribuirá para a formação de outros números adimensionais relacionados à geração de calor.

Passo 7

Passando para a parte b): queremos encontrar a distribuição de temperatura na placa, desprezando a geração de calor. Isso significa que o termo na equação se anula.

Passo 8

Com a geração de calor desprezada, a equação de transferência de calor fica:
partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 = 0
Essa é a equação de Laplace para potencial térmico em regime estacionário.

Passo 9

As condições de contorno se simplificam:
partial Tpartial x(0, y) = 0 (adiabático em x=0) á
partial Tpartial y(x, 0) = 0 (adiabático em y=0) á
T(L, y) = T1 (primeiro tipo em x=L)
-k partial Tpartial y(x, L) = h(T(x, L) - Tinfty) (terceiro tipo em y=L)

Passo 10

Para resolver essa equação, vamos assumir uma solução separável da forma:
T(x, y) = X(x)Y(y)
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por 1X d^2Xdx^2 + 1Y d^2Ydy^2 = 0 , obtemos:
Isso nos leva a duas equações diferenciais ordinárias, cada uma igual a uma constante negativa, digamos .

Passo 11

Resolvendo para d^2Xdx^2 + lambda^2X = 0 implies X(x) = A cos(lambda x) + B sin(lambda x) :
X(x) = A cos(lambda x)
A condição de contorno implica que , então:

Passo 12

Resolvendo para d^2Ydy^2 - lambda^2 Y = 0 implies Y(y) = C e^lambda y + D e^-lambda y :
Y(y) = C (e^lambda y + e^-lambda y) = 2C cosh(lambda y)
A condição de contorno implica que , então:

Passo 13

Aplicando a condição T(L, y) = A cos(lambda L) cdot 2C cosh(lambda y) = T1 :
lambda L = pi2, 3pi2, dots implies lambda = (2n+1)pi2L, n=0,1,2,dots
Para que isso seja válido para todos , precisamos que , ou seja:

Passo 14

Finalmente, aplicamos a condição de terceiro tipo em -k partial Tpartial y(x, L) = h(T(x, L) - Tinfty) :
Substituindo a solução encontrada e resolvendo para os coeficientes, obtemos a série que representa a distribuição de temperatura na placa.

Resposta

a) Os números adimensionais presentes no problema são:
  • Número de Biot ( T(x, y) = T1 sumn=0^infty 4(2n+1)pi cos( (2n+1)pi x2L ) cosh( (2n+1)pi y2L ) ):
  • Número de Fourier ( ): Não aparece diretamente no regime estacionário.
b) Desprezando a geração de calor, a distribuição de temperatura na placa é dada por uma série de funções seno e hiperbólicas:
onde

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