) Considere a transferência de calor em uma placa quadrada bidimensional,
e
, de condutividade térmica constante,
, com condições de contorno adiabáticas em duas faces (
e
), de terceiro tipo em outra face (
, com coeficiente de convecção
) e de primeiro tipo na última face
. Além disso,
meio gera uma taxa volumétrica de calor proporcional à diferença de temperatura
a) Quais os números adimensionais existentes neste problema.
b) Desprezando a geração de calor. Qual a distribuição de temperatura na placa.
b) Desprezando a geração de calor. Qual a distribuição de temperatura na placa.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema de transferência de calor na placa quadrada. A gente tem uma placa bidimensional com lados de comprimento
, condutividade térmica constante
, e diferentes condições de contorno: duas adiabáticas, uma de terceiro tipo com coeficiente de convecção
, e uma de primeiro tipo. Além disso, o meio está gerando calor proporcional à diferença de temperatura. Para resolver, vamos precisar entender sobre números adimensionais e resolver equações diferenciais parciais de transferência de calor.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): identificar os números adimensionais presentes no problema. Números adimensionais são combinações de variáveis físicas que não têm unidades, ajudando a simplificar e generalizar as equações.
Passo 3
Primeiro, temos o número de Biot (
). Ele relaciona a resistência de condução interna da placa com a resistência de convecção na superfície. A fórmula é:
Onde
é o coeficiente de convecção,
é o comprimento característico, e
é a condutividade térmica.
Passo 4
Outro número importante é o número de Fourier (
), que relaciona a difusão de calor ao tempo. No caso estacionário, que é o nosso, o
não aparece diretamente, mas é útil para entender processos transitórios.
Passo 5
Também temos o número de Grashof (
) se considerarmos convecção natural, mas como estamos lidando com condições impuestas, ele não é diretamente relevante aqui. Contudo, é bom estar ciente dele.
Passo 6
Além disso, o termo
na equação fornecida tem dimensões de
. Quando fazemos a adimensionalização, esse termo contribuirá para a formação de outros números adimensionais relacionados à geração de calor.
Passo 7
Passando para a parte b): queremos encontrar a distribuição de temperatura na placa, desprezando a geração de calor. Isso significa que o termo
na equação se anula.
Passo 8
Com a geração de calor desprezada, a equação de transferência de calor fica:
Essa é a equação de Laplace para potencial térmico em regime estacionário.
Passo 9
As condições de contorno se simplificam:
Passo 10
Para resolver essa equação, vamos assumir uma solução separável da forma:
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por
, obtemos:
Isso nos leva a duas equações diferenciais ordinárias, cada uma igual a uma constante negativa, digamos
.
Passo 11
Resolvendo para
:
A condição de contorno
implica que
, então:
Passo 12
Resolvendo para
:
A condição de contorno
implica que
, então:
Passo 13
Aplicando a condição
:
Para que isso seja válido para todos
, precisamos que
, ou seja:
Passo 14
Finalmente, aplicamos a condição de terceiro tipo em
:
Substituindo a solução encontrada e resolvendo para os coeficientes, obtemos a série que representa a distribuição de temperatura na placa.
Resposta
a) Os números adimensionais presentes no problema são:
- Número de Biot (
): - Número de Fourier (
): Não aparece diretamente no regime estacionário.
b) Desprezando a geração de calor, a distribuição de temperatura na placa é dada por uma série de funções seno e hiperbólicas:
onde
Exercícios relacionados
Quais os componentes da radiaçāo solar que sāo medidos por um piranômetro, pireliômetro e saldoradiômetro, respectivamente?
Quais os
máximos para os corpos com temperaturas de 5777 K e 300 K ? (Lei de Wein)
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
Transferência de Calor
(10) O que sāo aletas? Quais os mecanismos de transferência de calor envolvidos durante o uso de aletas? Qual é a razāo para o uso de aletas em superficies? Quais sāo as configuraçōes típicas das aletas?