DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUIMICA
Transferência de Calor
Prof. Dr.: José da Paixão Lopes dos Santos
Data: 27/09/2024
Segunda Prova 2
1 (2,0 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superficie em e em são mantidas isoladas.
a) Deseenvolva uma expressão da distribuição de temperatura na placa.
b) Calcule a temperatura no centro da placa em min e 1 h numa placa de espessura , e difusividade térmica .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão trata de Transferência de Calor em uma placa com certa espessura. Precisamos encontrar como a temperatura se distribui na placa ao longo do tempo, considerando que as superfícies estão isoladas. Para resolver isso, vamos usar a Equação da Difusão de Calor e aplicar as condições iniciais e de contorno fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Equação da Difusão de Calor em uma dimensão:
Aqui, é a temperatura, é o tempo, é a posição na placa, e é a difusividade térmica.
Passo 3
A condição inicial dada é:
Isso significa que, no tempo inicial (), a temperatura varia ao longo da placa de acordo com essa função cosseno.
Passo 4
As condições de contorno são que as superfícies em e estão isoladas. Em termos matemáticos, isso significa que o fluxo de calor nessas superfícies é zero, o que se traduz em derivadas espaciais iguais a zero:
Passo 5
Para resolver a equação da difusão de calor com essas condições, usamos a Solução de Separação de Variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função do tempo e uma função do espaço:
Passo 6
Substituindo na equação da difusão de calor e separando as variáveis, obtemos dois problemas ordinários:
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 7
Resolvendo para , temos a equação diferencial:
Com as condições de contorno de isolamento, as soluções são funções cosseno com índices apropriados.
Passo 8
A solução geral é uma soma de modos estacionários:
Os coeficientes são determinados pela condição inicial.
Passo 9
Aplicando a condição inicial , vemos que apenas o primeiro termo da série (com ) é necessário, já que ele coincide com a condição inicial.
Passo 10
Portanto, a expressão simplificada para a distribuição de temperatura na placa é:
Passo 11
Agora, vamos para a parte b). Queremos calcular a temperatura no centro da placa () nos tempos minutos e hora, com cm e .
Passo 12
Primeiro, convertemos cm para metros:
Passo 13
A posição do centro é .
Passo 14
Substituindo na expressão da temperatura:
Sabemos que .
Passo 15
Portanto:
Passo 16
Calculando o expoente:
Passo 17
Agora, a expressão fica:
Passo 18
Convertendo os tempos para segundos:
minutos segundos
hora segundos
Passo 19
Substituindo :
Para s:
Para s:
Passo 20
Calculando os expoentes:
Para s:
Para s:
Passo 21
Agora, calculamos os fatores exponenciais:
Para s:
Para s:
Passo 22
Finalmente, substituindo de volta:
Para min:
Para h:
Resposta
A temperatura no centro da placa ( cm) é aproximadamente após 6 minutos e após 1 hora.