DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUIMICA
Transferência de Calor
Prof. Dr.: José da Paixão Lopes dos Santos
Data: 27/09/2024
Segunda Prova 2
1 (2,0 pontos) Uma placa de espessura tem uma distribuição inicial de temperatura . Em , a superficie em e em são mantidas isoladas.
a) Deseenvolva uma expressão da distribuição de temperatura na placa.
b) Calcule a temperatura no centro da placa em min e 1 h numa placa de espessura , e difusividade térmica .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata de Transferência de Calor em uma placa com certa espessura. Precisamos encontrar como a temperatura se distribui na placa ao longo do tempo, considerando que as superfícies estão isoladas. Para resolver isso, vamos usar a Equação da Difusão de Calor e aplicar as condições iniciais e de contorno fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação da Difusão de Calor em uma dimensão:
Aqui, é a temperatura, é o tempo, é a posição na placa, e é a difusividade térmica.

Passo 3

A condição inicial dada é:
Isso significa que, no tempo inicial ( ), a temperatura varia ao longo da placa de acordo com essa função cosseno.

Passo 4

As condições de contorno são que as superfícies em e estão isoladas. Em termos matemáticos, isso significa que o fluxo de calor nessas superfícies é zero, o que se traduz em derivadas espaciais iguais a zero:

Passo 5

Para resolver a equação da difusão de calor com essas condições, usamos a Solução de Separação de Variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função do tempo e uma função do espaço:

Passo 6

Substituindo na equação da difusão de calor e separando as variáveis, obtemos dois problemas ordinários:
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 7

Resolvendo para , temos a equação diferencial:
Com as condições de contorno de isolamento, as soluções são funções cosseno com índices apropriados.

Passo 8

A solução geral é uma soma de modos estacionários:
Os coeficientes são determinados pela condição inicial.

Passo 9

Aplicando a condição inicial , vemos que apenas o primeiro termo da série (com ) é necessário, já que ele coincide com a condição inicial.

Passo 10

Portanto, a expressão simplificada para a distribuição de temperatura na placa é:

Passo 11

Agora, vamos para a parte b). Queremos calcular a temperatura no centro da placa ( ) nos tempos minutos e hora, com cm e .

Passo 12

Primeiro, convertemos cm para metros:

Passo 13

A posição do centro é .

Passo 14

Substituindo na expressão da temperatura:
Sabemos que .

Passo 15

Portanto:

Passo 16

Calculando o expoente:

Passo 17

Agora, a expressão fica:

Passo 18

Convertendo os tempos para segundos:
  • minutos segundos
  • hora segundos

Passo 19

Substituindo :
Para s:
Para s:

Passo 20

Calculando os expoentes:
Para s:
Para s:

Passo 21

Agora, calculamos os fatores exponenciais:
Para s:
Para s:

Passo 22

Finalmente, substituindo de volta:
Para min:
Para h:

Resposta

A temperatura no centro da placa ( cm) é aproximadamente após 6 minutos e após 1 hora.

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