DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUIMICA
Transferência de Calor
Prof. Dr.: José da Paixão Lopes dos Santos
Data: 27/09/2024
Segunda Prova 2
1 (2,0 pontos) Uma placa de espessura L tem uma distribuição inicial de temperatura Ti=T0 cos (pi x2 L). Em t>0, a superficie em x=0 e em x=L são mantidas isoladas.
a) Deseenvolva uma expressão da distribuição de temperatura na placa.
b) Calcule a temperatura no centro da placa em t=6 min e 1 h numa placa de espessura L=10 cm, e difusividade térmica alpha=10^-7 m^2 / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata de Transferência de Calor em uma placa com certa espessura. Precisamos encontrar como a temperatura se distribui na placa ao longo do tempo, considerando que as superfícies estão isoladas. Para resolver isso, vamos usar a Equação da Difusão de Calor e aplicar as condições iniciais e de contorno fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Equação da Difusão de Calor em uma dimensão:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2
Aqui, é a temperatura, é o tempo, é a posição na placa, e é a difusividade térmica.

Passo 3

A condição inicial dada é:
Ti = T0 cos(pi x2L)
Isso significa que, no tempo inicial ( ), a temperatura varia ao longo da placa de acordo com essa função cosseno.

Passo 4

As condições de contorno são que as superfícies em partial Tpartial xg|x=0 = 0 e partial Tpartial xg|x=L = 0 e estão isoladas. Em termos matemáticos, isso significa que o fluxo de calor nessas superfícies é zero, o que se traduz em derivadas espaciais iguais a zero:

Passo 5

Para resolver a equação da difusão de calor com essas condições, usamos a Solução de Separação de Variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função do tempo e uma função do espaço:
T(x,t) = X(x) cdot Theta(t)

Passo 6

Substituindo 1Theta dThetadt = alpha 1X d^2 Xdx^2 = -lambda na equação da difusão de calor e separando as variáveis, obtemos dois problemas ordinários:
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 7

Resolvendo para d^2 Xdx^2 + lambdaalpha X = 0 , temos a equação diferencial:
Com as condições de contorno de isolamento, as soluções são funções cosseno com índices apropriados.

Passo 8

A solução geral é uma soma de modos estacionários:
T(x,t) = sumn=0^infty An cos((2n+1)pi x2L) e^-alpha ((2n+1)pi2L)^2 t
Os coeficientes são determinados pela condição inicial.

Passo 9

Aplicando a condição inicial , vemos que apenas o primeiro termo da série (com ) é necessário, já que ele coincide com a condição inicial.

Passo 10

Portanto, a expressão simplificada para a distribuição de temperatura na placa é:
T(x,t) = T0 cos(pi x2L) e^-alpha (pi2L)^2 t

Passo 11

Agora, vamos para a parte b). Queremos calcular a temperatura no centro da placa ( ) nos tempos minutos e hora, com cm e .

Passo 12

Primeiro, convertemos L = 0,10 , m cm para metros:

Passo 13

A posição do centro é .

Passo 14

Substituindo T(L2, t) = T0 cos(pi cdot L22L) e^-alpha (pi2L)^2 t = T0 cos(pi4) e^-alpha (pi2L)^2 t na expressão da temperatura:
Sabemos que .

Passo 15

Portanto:
T(L2, t) = T0 cdot raiz22 cdot e^-alpha (pi2L)^2 t

Passo 16

Calculando o expoente:
(pi2L)^2 = pi^24L^2 = pi^24 cdot (0,10)^2 = pi^24 cdot 0,01 = pi^20,04 = 25pi^2

Passo 17

Agora, a expressão fica:
T(L2, t) = T0 cdot raiz22 cdot e^-alpha cdot 25pi^2 t

Passo 18

Convertendo os tempos para segundos:
  • minutos segundos
  • hora segundos

Passo 19

Substituindo T(L2, 360) = T0 cdot raiz22 cdot e^-10^-7 cdot 25pi^2 cdot 360 :
Para T(L2, 3600) = T0 cdot raiz22 cdot e^-10^-7 cdot 25pi^2 cdot 3600 s:
Para s:

Passo 20

Calculando os expoentes:
Para -10^-7 cdot 25pi^2 cdot 360 approx -10^-7 cdot 25 cdot 9,8696 cdot 360 approx -10^-7 cdot 25 cdot 9,8696 cdot 360 approx -8,898 times 10^-3 s:
-10^-7 cdot 25pi^2 cdot 3600 approx -10^-7 cdot 25 cdot 9,8696 cdot 3600 approx -8,898 times 10^-2
Para s:

Passo 21

Agora, calculamos os fatores exponenciais:
Para e^-8,898 times 10^-3 approx 0,9912 s:
e^-8,898 times 10^-2 approx 0,9152
Para s:

Passo 22

Finalmente, substituindo de volta:
Para T(L2, 6,min) approx T0 cdot raiz22 cdot 0,9912 approx 0,7071 T0 cdot 0,9912 approx 0,700 T0 min:
T(L2, 1,h) approx T0 cdot raiz22 cdot 0,9152 approx 0,7071 T0 cdot 0,9152 approx 0,648 T0
Para h:

Resposta

A temperatura no centro da placa ( cm) é aproximadamente após 6 minutos e após 1 hora.

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