Um longo fio de cobre, com
de diâmetro, é exposto a uma corrente de ar a uma temperatura de 310 K . Após 30 s , a temperatura média do fio aumentou de 280 para 297 K. Usando essas informações, estime o coeficiente de transferência de calor por condução, h.
. Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos olhar o que a questão está pedindo. Temos um fio longo de cobre com diâmetro de 0,635 cm que, após 30 segundos, teve sua temperatura média aumentada de 280 K para 297 K quando exposto ao ar a 310 K. Queremos estimar o coeficiente de transferência de calor por condução, representado por
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução térmica, e aplicar algumas fórmulas envolvendo propriedades do material como condutividade térmica (
), densidade (
) e capacidade calorífica específica (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. O fio de cobre está aquecendo porque há uma corrente passando por ele, gerando calor. Esse calor está sendo transferido para o ambiente através da superfície do fio. O aumento de temperatura do fio nos dá uma ideia de quanto calor foi gerado e dissipado.
Passo 3
Vamos calcular a quantidade de calor
que foi necessário para aumentar a temperatura do fio de 280 K para 297 K em 30 segundos. Usamos a fórmula:
Onde:
-
é a massa do fio -
é a capacidade calorífica específica -
é a variação de temperatura
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar a massa
do fio. Para isso, usamos a densidade
e o volume
do fio:
O volume
de um fio cilíndrico é dado por:
Onde
é o raio e
é o comprimento do fio. Mas como o comprimento
não é dado, podemos perceber que vamos precisar relacionar tudo de maneira que
se cancele no final.
Passo 5
Agora, vamos expressar a taxa de geração de calor
que está sendo transferida para o ambiente:
Onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor que queremos encontrar -
é a área superficial do fio -
é a diferença de temperatura entre o fio e o ambiente
Passo 6
A área superficial
de um fio cilíndrico é:
Novamente, notamos que
aparece aqui e no cálculo de
. Vamos ver como isso se desenvolve.
Passo 7
A energia total
transferida em 30 segundos é igual à potência
multiplicada pelo tempo
:
Mas também temos
, então podemos igualar as duas expressões:
Passo 8
Substituindo
e
na equação:
Podemos simplificar termos comuns:
Passo 9
Agora, isolamos
:
Passo 10
Vamos agora substituir os valores fornecidos na fórmula:
Substituindo:
Passo 11
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:
Passo 12
Parece que chegamos a um valor de
maior que o esperado. Revisando os cálculos, percebemos que podemos ter confundido os conceitos. Na verdade, o coeficiente de transferência de calor geralmente está associado à convecção, não à condução. Portanto, vamos ajustar nossa abordagem considerando que
é o coeficiente de convecção.
Passo 13
Usando a fórmula de conveção:
Igualamos ao calor gerado:
Simplificando:
Passo 14
Substituindo
e
:
Agora, substituindo os valores:
Resposta
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Transferência de Calor
Prof. Dr.: José da Paixão Lopes dos Santos
Data: 27/09/2024
Segunda Prova 2
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. Em
, a superficie em
e em
são mantidas isoladas.
a) Deseenvolva uma expressão da distribuição de temperatura na placa.
b) Calcule a temperatura no centro da placa em min e 1 h numa placa de espessura
, e difusividade térmica
.
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Transforme
em
, em Rankine e em Kelvin. R:
;