A derivada direcional de f dada por f(x,y)=2 cos x cos y na direção do versor u=raiz3/2i=1/2J é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = 2 \cos x \cos y $ na direção do versor $ \mathbf{u} = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} $. Vamos usar conceitos de cálculo, como gradiente e produto escalar, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela mede como a função muda em uma direção específica. Para calcular isso, a gente precisa do gradiente da função $ f $ e do versor da direção desejada.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de $ f $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
f

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = partialpartial x (2 cos x cos y) = -2 sin x cos y
partial fpartial y = partialpartial y (2 cos x cos y) = -2 cos x sin y
Então, o gradiente é:
nabla f = ( -2 sin x cos y, -2 cos x sin y )

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da derivada direcional:
Du f = nabla f cdot u
Onde “ cdot” representa o produto escalar entre os vetores.

Passo 6

Substituindo os valores que encontramos:
Du f = ( -2 sin x cos y ) ( raiz32 ) + ( -2 cos x sin y ) ( 12 )

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Du f = -2 sin x cos y cdot raiz32 - 2 cos x sin y cdot 12
Du f = -raiz3 sin x cos y - cos x sin y

Resposta

A derivada direcional de $ f(x, y) = 2 \cos x \cos y $ na direção de $ \mathbf{u} = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} $ é:
f(x, y) = 2 cos x cos y

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