A derivada direcional de f dada por f(x,y)=2 cos x cos y na direção do versor u=raiz3/2i=1/2J é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = 2 \cos x \cos y $ na direção do versor $ \mathbf{u} = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} $. Vamos usar conceitos de cálculo, como gradiente e produto escalar, para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela mede como a função muda em uma direção específica. Para calcular isso, a gente precisa do gradiente da função $ f $ e do versor da direção desejada.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de $ f $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da derivada direcional:
Onde “
” representa o produto escalar entre os vetores.
Passo 6
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A derivada direcional de $ f(x, y) = 2 \cos x \cos y $ na direção de $ \mathbf{u} = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} $ é: