Derive expressions for the mean and variances of the seguinte combinações lineares em termos das médias e covariâncias das variáveis aleatórias
, e
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar a média (esperança matemática) e a variância de uma combinação linear das variáveis aleatórias
e
, ou seja, de
. Para isso, vamos precisar entender como calcular a média e a variância de somas de variáveis aleatórias usando as médias individuais e as covariâncias entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da combinação
. A propriedade que vamos usar aqui é que a esperança matemática é uma operação linear. Isso significa que a média da soma é igual à soma das médias. Ou seja:
Essa é uma regra básica das médias de combinações lineares.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância da combinação
. A variância mede a dispersão dos valores em torno da média. Quando temos uma soma de variáveis aleatórias, a variância da soma não é apenas a soma das variâncias individuais, mas também inclui as covariâncias entre cada par de variáveis. A fórmula geral para a variância de uma soma de três variáveis é:
Aqui,
representa a covariância entre
e
, que indica como as duas variáveis se movem juntas. Os termos multiplicados por 2 aparecem porque cada par de variáveis contribui duas vezes para a covariância total na soma.
Resposta
A média de
é:
E a variância de
é:
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